Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(my = {x^2}\), \(mx = {y^2}\) (với \(m > 0\)). Tìm giá trị của m để \(S = 3\).

Vì \(m > 0\) nên từ \(my = {x^2}\) ta suy \(y = \frac{{{x^2}}}{m} \ge 0\);

Từ \(mx = {y^2}\) nên \(x \ge 0\) và \(y = \sqrt {mx} \).

Xét phương trình \(\frac{{{x^2}}}{m} = \sqrt {mx} \Leftrightarrow {x^4} = {m^3}x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(S = \int\limits_0^m {\left| {\sqrt {mx} - \frac{{{x^2}}}{m}} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^m {\left( {\sqrt {mx} - \frac{{{x^2}}}{m}} \right)dx} } \right|\)

     \( = \left| {\left( {\frac{{2\sqrt m }}{3}.x\sqrt x - \frac{{{x^3}}}{{3m}}} \right)\left| \begin{array}{l}^m\\_0\end{array} \right.} \right| = \left| {\frac{1}{3}{m^2}} \right| = \frac{1}{3}{m^2}\)

Yêu cầu bài toán \(S = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{m^2} = 3 \Leftrightarrow {m^2} = 9 \Leftrightarrow m = 3\) (vì \(m > 0\)).

Chọn C.