Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right).$ Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Biết $\widehat{BAC}=\alpha , BC=a.$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là

+) Gọi K, P lần lượt là trung điểm của AC và AB.

$△$ACN vuông tại N => K là tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ACN.

$△$ABM vuông tại M => P là tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ABM.

+) Hai mặt phẳng (SAB), (ABC) vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến AB nên gọi d1 là trục của đường tròn ngoại tiếp $△$ABM thì d₁ qua $P, d_1\subset \left(ABC\right)$ và $d_1\perp AB.$ Tương tự, gọi d₂ là trục của đường tròn ngoại tiếp $△$ACN thì d₂ qua $K,d_2\subset \left(ABC\right)$ và $d_2\perp AC.$

+) Rõ ràng, trong mặt phẳng (ABC) thì d₁d₂ lần lượt là đường trung trực của các cạch AB, AC nên hai đường này cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp $△$ABC, bán kính R của mặt cầu này cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp $△$ABC.

+) Áp dụng định lí sin cho $△$ABC ta được $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a}{2\sin \alpha }.$

Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là $S=4\pi R^2=\frac{\pi a^2}{{\sin }^2\alpha }.$