Câu hỏi:

11/07/2024 1,245

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).

Tìm toạ độ của điểm R thoả mãn \[\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0 .\] Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 10 Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng tọa độ có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Giả sử R(x₀; y₀) là điểm cần tìm.

Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:

+) \(\overrightarrow {RM} = \left( { - 2 - {x_0};1 - {y_0}} \right)\)

+) \(\overrightarrow {RN} = \left( {4 - {x_0};5 - {y_0}} \right)\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow {RN} = \left( {8 - 2{x_0};10 - 2{y_0}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \left( { - 2 - {x_0} + 8 - 2{x_0};1 - {y_0} + 10 - 2{y_0}} \right)\)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \left( {6 - 3{x_0};11 - 3y{ & _0}} \right)\]

Do đó \[\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - 3{x_0} = 0\\11 - 3{y_0} = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{y_0} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\] \( \Rightarrow R\left( {2;\frac{{11}}{3}} \right)\)

+) Ta xét ba điểm: P(3; 0), Q(0; 11) và \(R\left( {2;\frac{{11}}{3}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {PQ} = \left( { - 3;11} \right)\)và \(\overrightarrow {QR} = \left( {2;\frac{{11}}{3} - 11} \right) = \left( {2;\frac{{ - 22}}{3}} \right)\)

Có: \(\frac{{ - 3}}{2} = \frac{{11}}{{\frac{{ - 22}}{3}}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {PQ} \) và \(\overrightarrow {QR} \) cùng phương

Do đó P, Q, R thẳng hàng

Vậy ba điểm P, Q, R thẳng hàng.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB = 200 m, AD = 180 m, người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ AB và cách đỉnh A khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ CD và cách đỉnh C khoảng cách 30 m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ AB, AD.

Xem đáp án

Lời giải

Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB = 200 m, AD = 180 m, người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ AB và cách đỉnh A khoả (ảnh 1)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho các đỉnh của hình hồ hình chữ nhật có các tọa độ là A(0; 0), B(200; 0), C(200; 180) và D(0; 180).

Gọi vị trí các cột điện được trồng là C₁, C₂, C₃ và C₄.

Vì vị trí cột điện thứ nhất C₁ nằm trên bờ AB và cách A một khoảng 20 m nên trong hệ trục tọa độ đã chọn, điểm C₁(20; 0).

Vị trí cột điện thứ tư nằm trên bờ CD và cách C một khoảng 30 m nên khoảng cách từ C₄ đến D là 170 m. Khi đó trong hệ trục tọa độ đã chọn, điểm C₄(170; 180).

Vì bốn cột điện được trồng liên tiếp nhau và cách đều trên một đường thẳng nên:

C₁C₂ = C₂C₃= C₃C₄

C₁C₂ = \(\frac{1}{3}\)C₁C₄ và C₁C₃ = \(\frac{2}{3}\)C₁C₄.

\( \Rightarrow \overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \) và \(\overrightarrow {{C_1}{C_3}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \)

Giả sử C₂(a; b) và C₃(x; y).

Với C₁(20; 0), C₄(170; 180) ta có:

\(\overrightarrow {{C_1}{C_4}} = \left( {150;180} \right)\); \(\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \left( {a - 20;b} \right)\) và \(\overrightarrow {{C_1}{C_3}} = \left( {x - 20;y} \right)\)

• \[\overrightarrow {{C_1}{C_2}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 20 = \frac{1}{3}.150 = 50\\b = \frac{1}{3}.180 = 60\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 70\\b = 60\end{array} \right.\] C₂(70; 60).

d(C₂; AB) = d(C₂; Ox) = |b| = 60 (m).

d(C₂; AD) = d(C₂; Oy) = |a| = 70 (m).

• \(\overrightarrow {{C_1}{C_3}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {{C_1}{C_4}} \)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 20 = \frac{2}{3}.150 = 100\\y = \frac{2}{3}.180 = 120\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 120\\y = 120\end{array} \right.\] C₃(120; 120).

d(C₃; AB) = d(C₃; Ox) = |y| = 120 (m)

d(C₃; AD) = d(C₃; Oy) = |x| = 120 (m).

Vậy khoảng cách từ cột điện thứ hai đến bờ AB là 60 m và đến bờ AD là 70 m.

Khoảng cách từ cột điện thứ ba đến bờ AB là 120 m và đến bờ AD là 120 m.

Câu 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M, N, P theo thứ tự là trung điểm cạnh BC, CA, AB.

Xem đáp án

Lời giải

Cách 1:

Gọi A(x_A; y_A); B(x_B; y_B) và C(x_C; y_C) là tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC.

Ta có:

+) M(4; 0) là trung điểm của BC nên \(\left\{ \begin{array}{l}4 = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\0 = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 8\\{y_B} + {y_C} = 0\end{array} \right.\)(1)

+) N(5; 2) là trung điểm của CA nên \[\left\{ \begin{array}{l}5 = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\2 = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_C} = 10\\{y_A} + {y_C} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 10 - {x_A}\\{y_C} = 4 - {y_A}\end{array} \right.\](2)

+) P(2; 3) là trung điểm của AB nên \[\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\3 = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 4\\{y_A} + {y_B} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 - {x_A}\\{y_B} = 6 - {y_A}\end{array} \right.\](3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {4 - {x_A}} \right) + \left( {10 - {x_A}} \right) = 8\\\left( {6 - {y_A}} \right) + \left( {4 - {y_A}} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}14 - 2{x_A} = 8\\10 - 2{y_A} = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3\\{y_A} = 5\end{array} \right.\) A(3; 5)

Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 - 3 = 1\\{y_B} = 6 - 5 = 1\end{array} \right.\] B(1; 1)

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 10 - 3 = 7\\{y_C} = 4 - 5 = - 1\end{array} \right.\] C(7; –1)

Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).

Cách 2:

Do M, N, P

lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Nên MN, NP, PM là các đường trung bình của tam giác ABC.

MN // AB, NP // BC, MP // AC.

+) Do MN // BM và NP // BM nên tứ giác MNPB là hình bình hành

\( \Rightarrow \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {NP} \)

Gọi B(x_B; y_B) và có M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MB} = \left( {{x_B} - 4;{y_B}} \right)\) và \(\overrightarrow {NP} = \left( {2 - 5;3 - 2} \right) = \left( { - 3;1} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {NP} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - 4 = - 3\\{y_B} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1\\{y_B} = 1\end{array} \right.\) B(1; 1)

Tương tự ta cũng có A(3; 5) và C(7; –1).

Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).

Câu 3