Câu hỏi:

13/07/2022 1,060

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {MP} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} .\) Tính độ dài đoạn MP.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 10 Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1. Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ AP , vecto MP theo hai vectơ (ảnh 1)

• Vì P thuộc đoạn thẳng AN thỏa mãn AP = 3PN \( \Rightarrow AP = \frac{3}{4}AN\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AN} = \frac{3}{4}.\left( {2\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} \)

• Ta có: \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} \)

\( = \left( {\frac{3}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

\( = \left( {\frac{3}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) - \left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AC} - \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow MP = \left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} - \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} } \right|\)

\( \Rightarrow M{P^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} } \right)^2}\)

\( = {\overrightarrow {AC} ^2} - 2.\frac{5}{4}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \frac{{25}}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2}\)

\( = A{C^2} + \frac{{25}}{{16}}A{B^2} - \frac{5}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)

\( = {1^2} + \frac{{25}}{{16}}{.1^2} - \frac{5}{2}.\frac{1}{2}\)

\( = \frac{{21}}{{16}}\)

\( \Rightarrow MP = \sqrt {\frac{{21}}{{16}}} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.\)

Vậy \(\overrightarrow {AP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} ;\)\(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AC} - \frac{5}{4}\overrightarrow {AB} \) và \(MP = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.\)

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).

Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC hay \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \)

Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; 1), B(4; 3) và C(x; 0) ta có:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {x - 2; - 1} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) 2(x – 2) + 2(–1) = 0

2x – 4 – 2 = 0

2x = 6

x = 3

Vậy C(3; 0).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1} \right)\)

Ta có:

• \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \)

• \(\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \)

• \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {10} \) (theo định lí Pythagore)

Khi đó chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = \(2\sqrt 2 + \sqrt 2 + \sqrt {10} = 3\sqrt 2 + \sqrt {10} \)(đơn vị độ dài)

Diện tích tam giác ABC là:

\(\frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2\) (đơn vị diện tích)

Câu 2

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.

Xem đáp án

Lời giải

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1). Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy. (ảnh 1)

Với A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1) ta có:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right)\)và \(\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 3} \right)\)

Vì \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3} \ne \frac{3}{{ - 3}} = - 1\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 3 + 1 + 3}}{3} = \frac{1}{3}\\{y_G} = \frac{{2 + 5 + \left( { - 1} \right)}}{3} = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G\left( {\frac{1}{3};2} \right)\)

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(G\left( {\frac{1}{3};2} \right)\).

Câu 3