Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, \(BC = \sqrt 2 .\) Gọi M là trung điểm của AD.

Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

Lời giải

a) Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b \) khi đó \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 1\)và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 .\)

Vì AB ⊥ AD nên \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \)

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:

\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \) (quy tắc hình bình hành)

M là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow b \)

Suy ra \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow a \)

Khi đó \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\overrightarrow a .\overrightarrow b - \overrightarrow a .\overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow b .\overrightarrow b - \overrightarrow a .\overrightarrow b \)

\( = \frac{1}{2}\overrightarrow 0 - {\overrightarrow a ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow b ^2} - \overrightarrow 0 \) (do \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \))

\( = - {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + \frac{1}{2}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)

\( = - {1^2} + \frac{1}{2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 0\)

Do đó \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BM} \)

AC ⊥ BM.