Câu hỏi:
13/07/2022 496Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, \(BC = \sqrt 2 .\) Gọi M là trung điểm của AD.
Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
• Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = 1 + \({\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\)= 3
\( \Rightarrow AC = \sqrt 3 \)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
AB2 = AH.AC \( \Rightarrow AH = \frac{{A{B^2}}}{{AC}} = \frac{{{1^2}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
\[ \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}:\sqrt 3 = \frac{1}{3}\]
\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
Khi đó \(\overrightarrow {HC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {HA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
Ta có \(\overrightarrow {NB} = \overrightarrow {NA} + \overrightarrow {AB} \) (quy tắc ba điiểm)
Vì N là trung điểm của AH nên \(\overrightarrow {NA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HA} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {NB} = \frac{1}{2}.\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AB} \)
\( = - \frac{1}{6}.\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow a \)
\( = \frac{5}{6}\overrightarrow a - \frac{1}{6}\overrightarrow b \)
• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {NP} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {NP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {HC} } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {NP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow b + \frac{1}{3}.\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\)
\( = \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{5}{6}.\overrightarrow b \)
Khi đó \[\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} = \left( {\frac{5}{6}\overrightarrow a - \frac{1}{6}\overrightarrow b } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{5}{6}.\overrightarrow b } \right)\]
\[ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow a ^2} + \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow a .\overrightarrow b - \frac{1}{{18}}\overrightarrow a .\overrightarrow b - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow b ^2}\]
\[ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow a ^2} + \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow a .\overrightarrow b - \frac{1}{{18}}\overrightarrow a .\overrightarrow b - \frac{5}{{36}}{\overrightarrow b ^2}\]
\[ = \frac{5}{{18}}{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow 0 - \frac{1}{{18}}\overrightarrow 0 - \frac{5}{{36}}{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\] (do \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \))
\[ = \frac{5}{{18}}{.1^2} - \frac{5}{{36}}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\]
\[ = \frac{5}{{18}} - \frac{5}{{36}}.2 = 0\]
Do đó \[\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {NB} \bot \overrightarrow {NP} \]
NB ⊥ NP.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Câu 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.
Câu 3:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.
Câu 4:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
Câu 5:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.
Câu 6:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
BE vuông góc với CD;
Câu 7:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.
về câu hỏi!