Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

AM vuông góc với DE;

Lời giải

+) Vì M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

+) Theo quy tắc ba điểm ta có: \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AD} } \right)\)

\[ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\]

Mà AB ⊥ AD nên \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\]

Và AC ⊥ AE nên \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AE} = 0\]

Do đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)\)

Ta có:

• \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} = AB.AE.cos\widehat {BAE}\)

Và \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = AC.AD.cos\widehat {CAD}\]

• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)

Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)

• \(\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = \widehat {BAC} + 90^\circ \)

Và \(\widehat {CAD} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {CAD}\)

Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {DE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AE} } \right) = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {DE} \)