Câu hỏi:
13/07/2022 953Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
BE vuông góc với CD;
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
Ta có: \[\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} \]
\( \Rightarrow \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\( = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) (do \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\] và \[\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AE} = 0\])
Ta có:
• \(\overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} = AE.AD.cos\widehat {DAE}\)
Và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}\)
• AB = AD và AC = AE
• \(\widehat {DAE} = 360^\circ - \widehat {DAB} - \widehat {BAC} - \widehat {CAE}\)
\[ \Rightarrow \widehat {DAE} = 360^\circ - 90^\circ - \widehat {BAC} - 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {DAE} = 180^\circ - \widehat {BAC}\]
\[ \Rightarrow cos\widehat {DAE} = cos\left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right) = - cos\widehat {BAC}\]
\( \Rightarrow \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BE} \bot \overrightarrow {CD} \)
BE ⊥ CD.
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Câu 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.
Câu 3:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.
Câu 4:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
Câu 5:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.
Câu 6:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.
về câu hỏi!