Câu hỏi:
13/07/2022 589Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} = 0\)
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
Gọi H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
• Vì D, M lần lượt là hình chiếu của H và O lên BC, nên \(\overrightarrow {MD} \) là hình chiếu của \(\overrightarrow {OH} \) trên giá của \(\overrightarrow {BC} \)
Theo định lí hình chiếu (được giới thiệu ở phần Nhận xét của Ví dụ 2, trang 62, Sách Bài tập Toán 10, tập một) ta có:
\(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB} \)(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
• \(\overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} } \right)\)
\[ \Rightarrow \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC} \](2)
• \(\overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OH} .\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right)\)
\[ \Rightarrow \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA} \](3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} \)
\[ = \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OH} .\overrightarrow {OA} \]
= 0
Vậy \(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} = 0.\)
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Câu 2:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.
Câu 3:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.
Câu 4:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).
Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.
Câu 5:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).
Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.
Câu 6:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
BE vuông góc với CD;
Câu 7:
Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:
Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.
về câu hỏi!