$= 1 + \frac{1}{\frac{(1 + 2) \times 2}{2}} + \frac{1}{\frac{(1 + 3) \times 3}{2}} + \frac{1}{\frac{(1 + 4) \times 4}{2}} + ... + \frac{1}{\frac{(1 + 2024) \times 2024}{2}}$

$= 1 + \frac{2}{2 \times 3} + \frac{2}{3 \times 4} + \frac{2}{4 \times 5} + ... + \frac{2}{2024 \times 2025}$

$= 1 + 2 \times (\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + ... + \frac{1}{2024 \times 2025})$

$= 1 + 2 \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2024} - \frac{1}{2025})$

$\begin{array}{l} = 1 + 2 \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{2025}) \\ = 1 + 2 \times \frac{2023}{4050} \\ = 1 + \frac{2023}{2025} \\ = \frac{4048}{2025} \end{array}$

Đáp án: $\frac{4048}{2025}$

Câu 2/10

Tính: $(\frac{1}{2} + \frac{2}{1}) + (\frac{2}{3} + \frac{3}{2}) + (\frac{3}{4} + \frac{4}{3}) + ... + (\frac{10}{11} + \frac{11}{10})$

Xem đáp án

Lời giải

$(\frac{1}{2} + \frac{2}{1}) + (\frac{2}{3} + \frac{3}{2}) + (\frac{3}{4} + \frac{4}{3}) + ... + (\frac{10}{11} + \frac{11}{10})$

$= (1 - \frac{1}{2} + 1 + 1) + (1 - \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{2}) + (1 - \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{3}) + ... + (1 - \frac{1}{11} + 1 + \frac{1}{10})$

$= \underset{21 s o 1}{\underset{⏟}{1 + 1 + ... + 1}} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{10} - \frac{1}{10}) - \frac{1}{11} = 21 - \frac{1}{11} = \frac{230}{11}$

Đáp án: $\frac{230}{11}$

Câu 3/10

Lớp 6C1 của Archimedes có số học sinh ít hơn 35. Có $\frac{1}{2}$ số học sinh của lớp chơi bóng đá, $\frac{1}{4}$ học sinh xuống thư viện đọc sách, $\frac{1}{7}$ số học sinh chơi cầu lông. Hỏi bao nhiêu học sinh xuống thư viện đọc sách?

Xem đáp án

Lời giải

Theo đề bài, ta có: Số học sinh của lớp 6C1 là một số chia hết cho 2, 4 và 7.

Các số tự nhiên khác 0 chia hết cho 2, 4 và 7 là: 28; 56; 84; ...

Mà lớp 6C1 có ít hơn 35 học sinh nên số học sinh lớp 6C1 là 28 học sinh.

Số học sinh xuống thư viện đọc sách là: 28 : 4 = 7 (học sinh).

Đáp án: 7 học sinh

Câu 4/10

Có 4 con bạch tuộc A, B, C, D. Bạch tuộc có 6 hoặc 8 xúc tu luôn nói thật, bạch tuộc có 7 xúc tu luôn nói dối. Người ta hỏi các con bạch tuộc tổng số xúc tu là bao nhiêu? Các con bạch tuộc A, B, C, D lần lượt trả lời có 25, 26, 27, 28 xúc tu. Hỏi con nào nói thật?

Xem đáp án

Lời giải

Vì tổng số xúc tu của 4 con bạch tuộc chỉ có đúng 1 phương án mà 4 con bạch tuộc có 4 kết quả khác nhau nên có ít nhất 3 con nói dối.

Giả sử 4 con nói dối. Khi đó, tổng số xúc tu của 4 con là:

7 × 4 = 28 (xúc tu).

$\to$ Bạch tuộc D nói đúng $\to$ Mâu thuẫn $\to$ Loại

– Có 3 con nói dối, 1 con nói thật.

Tổng số xúc tu của 3 con nói dối là: 7 × 3 = 21 (xúc tu).

Con còn lại nói thật nên có 6 hoặc 8 xúc tu

Trường hợp con còn lại có 8 xúc tu:

Tổng số xúc tu của 4 con là:

21 + 8 = 29 (xúc tu)

→ Không có con nào nói đúng → Loại

Trường hợp con còn lại có 6 xúc tu:

Tổng số xúc tu của 4 con là:

21 + 6 = 27 (xúc tu).

→ Bạch tuộc C nói đúng, các bạch tuộc còn lại A, B, D nói sai

Đáp án: Bạch tuộc C

Câu 5/10

Cho tờ giấy hình vuông 8 × 8 bị cắt mất 3 hình vuông 2 × 2. Hỏi phải cắt như nào để được các hình chữ nhật 1 × 3 nhiều nhất có thể?

Xem đáp án

Lời giải

Hình còn lại có số ô vuông nhỏ là:

8 × 8 – 2 × 2 × 3 = 52 (ô vuông nhỏ).

Ta thấy để cắt được nhiều ô vuông 1 × 3 nhất ta cần cắt sao cho số ô vuông dư ra ít nhất có thể.

Ta không cắt được trường hợp ô vuông dư ra bằng 1.

Do đó ta cắt sao cho số ô vuông dư ra bằng 4 và cắt được nhiều nhất 16 hình chữ nhật 1 × 3.

Ví dụ cách cắt như sau:

Cho tờ giấy hình vuông 8 × 8 bị cắt mất 3 hình vuông 2 × 2. Hỏi phải cắt như nào để được các hình chữ nhật 1 × 3 nhiều nhất có thể? (ảnh 2)

Câu 6/10

Cho tam giác ABC tăng đáy 20%, giảm chiều cao tương ứng với đáy 15%. Hỏi diện tích tam giác ABC tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm?

Xem đáp án

Lời giải

Độ dài đáy lúc sau bằng: 100% + 20% = 120% (độ dài đáy ban đầu)

Chiều cao tương ứng với đáy lúc sau bằng: 100% - 15% = 85% (chiều cao ban đầu)

Diện tích tam giác lúc sau bằng: 120% × 85% = 102% (diện tích tam giác ban đầu)

Diện tích tam giác lúc sau tăng số phần trăm so với diện tích tam giác lúc đầu là:

102% - 100% = 2% (diện tích tam giác lúc đầu).

Đáp án: tăng 2%

Câu 7/10