10 Bài tập Nhận biết và chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng (có lời giải)

Xét ∆OAI và ∆OBI, có:

OI là cạnh chung.

OA = OB (giả thiết).

\[\widehat {AOI} = \widehat {BOI}\] (OI là phân giác của \[\widehat {AOB}\]).

Do đó ∆OAI = ∆OBI (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra AI = BI và \[\widehat {OAI} = \widehat {OBI}\] (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Vì \[\widehat {OAI} = \widehat {OBI}\] nên đáp án D sai.

Vì AI = BI (chứng minh trên) và OA = OB (giả thiết).

Nên OI là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hay Ot là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do đó đáp án B đúng nhất.

Vậy ta chọn đáp án B.

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vì AB = AC (∆ABC cân tại A).

Nên A cách đều hai điểm B, C.

Do đó A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC hay A ∈ d (1).

Vì MB = MC (giả thiết).

Nên M cách đều hai điểm B, C.

Do đó M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC hay M ∈ d (2).

Vì N là trung điểm BC (giả thiết).

Nên N ∈ d (3).

Từ (1), (2), ta có thể nói AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó đáp án A đúng.

Từ (1), (3), ta có thể nói AN là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó đáp án B đúng.

Từ (2), (3), ta có thể nói MN là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Vì AB = AE (giả thiết).

Nên ∆ABE cân tại A.

Suy ra \[\widehat {ABE} = \widehat {AEB}\].

∆ABE có: \[\widehat {BAC} + \widehat {ABE} + \widehat {AEB} = 180^\circ \].

Suy ra \[2\widehat {ABE} = 180^\circ - \widehat {BAC}\]   (1).

Vì ba điểm A, B, D thẳng hàng và B nằm giữa A, D nên AD = AB + BD.

Vì ba điểm A, E, C thẳng hàng và E nằm giữa A, C nên AC = AE + EC.

Mà AB = AE và BD = EC (giả thiết).

Do đó AD = AC.

Suy ra ∆ADC cân tại A.

Khi đó ta có \[\widehat {ADC} = \widehat {ACD}\].

Do đó đáp án A đúng.

∆ADC có: \[\widehat {BAC} + \widehat {ADC} + \widehat {ACD} = 180^\circ \].

Suy ra \[2\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {BAC}\]   (2).

Từ (1), (2), ta suy ra \[\widehat {ADC} = \widehat {ABE}\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó BE // DC.

Lại có AH ⊥ BE (giả thiết).

Suy ra AH ⊥ DC hay AK ⊥ DC (*).

Do đó đáp án B đúng.

Xét ∆ADK và ∆ACK, có:

AK là cạnh chung.

AD = AC (chứng minh trên).

\[\widehat {AKD} = \widehat {AKC} = 90^\circ \] (chứng minh trên).

Do đó ∆ADK = ∆ACK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra DK = CK (cặp cạnh tương ứng).

Do đó K là trung điểm DC (**).

Từ (*), (**), ta suy ra AK là đường trung trực của đoạn thẳng DC.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.