Giả sử phép biến hình F biến $∆ABC$  thành $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ . Xét các mệnh đề sau:

Trọng tâm $∆ABC$  biến thành trọng tâm $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ .

Trực tâm $∆ABC$biến thành trực tâm $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ .

Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp $∆ABC$  lần lượt biến thành tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ .

Số mệnh đề đúng trong 3 mệnh đề trên là:

Hướng dẫn giải

Phép biến hình F biến $M\left(x_1;y_1\right)$  tương ứng thành $M\text{'}\left(x_1^{\text{'}};y_1^{\text{'}}\right)$ , với $\left\{\begin{array}{l}{x}_1\text{'}=x_1\cos \alpha -y_1\sin \alpha +a\\ y_1\text{'}=x_1\sin \alpha +y_1\cos \alpha +b\end{array}\right.$

Phép biến hình F biến $N\left(x_2;y_2\right)$  tương ứng thành $N\text{'}\left(x_2^{\text{'}};y_2^{\text{'}}\right)$ , với $\left\{\begin{array}{l}{x}_2\text{'}=x_2\cos \alpha -y_2\sin \alpha +a\\ y_2\text{'}=x_2\sin \alpha +y_2\cos \alpha +b\end{array}\right.$

Ta có: $MN=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$

$\begin{array}{l}M\text{'}N\text{'}=\sqrt{{\left(x_2\text{'}-x_1\text{'}\right)}^2+{\left(y_2\text{'}-y_1\text{'}\right)}^2}\\ =\sqrt{{\left[\left(x_2-x_1\right)\cos \alpha -\left(y_2-y_1\right)\sin \alpha \right]}^2+{\left[\left(x_2-x_1\right)\sin \alpha +\left(y_2-y_1\right)\cos \alpha \right]}^2}\\ =\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2{\cos }^2\alpha +{\left(y_2-y_1\right)}^2{\sin }^2\alpha +{\left(x_2-x_1\right)}^2{\sin }^2\alpha +{\left(y_2-y_1\right)}^2{\cos }^2\alpha }\\ =\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right)+{\left(y_2-y_1\right)}^2\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right)}\\ =\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}=MN\end{array}$

Vậy phép biến hình F là phép dời hình.