Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng  $d:\frac{x}{2}-\frac{y}{4}=1$và $d\text{'}:2x-y-6=0$  . Phép vị tự$V_{\left(O;k\right)}\left(d\right)=d\text{'}$ . Tìm k.

Hướng dẫn giải

(C) có tâm$A\left(3;-2\right)$ , bán kính R=2 

(C') có tâm $A\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right)$ , bán kính $R\text{'}=\frac{5}{2}$

Vì A’ là ảnh của A qua phép vị tự tâm I, tỉ số $k=-\frac{1}{2}\Rightarrow \overrightarrow{IA\text{'}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{IA}$ .

Mà  $\overrightarrow{IA}=\left(x\text{'}-2;y\text{'}-1\right);\overrightarrow{IA}=\left(1;-3\right)$

Suy ra $A\text{'}\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)\Rightarrow \left(C\text{'}\right):x^2+y^2-3x-5y+\frac{9}{4}=0$ .

Ta có đường tròn (C') có tâm $K\text{'}\left(3;0\right)$ và bán kính R'=4.

Gọi $K\left(x;y\right)$ và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Khi đó $\begin{array}{l}{V}_{\left(I;-2\right)}\left(C\right)=\left(C\text{'}\right)\iff V_{\left(I;-2\right)}\left(K\right)=\left(K\text{'}\right)\iff \overrightarrow{IK\text{'}}=-2\overrightarrow{IK}\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\text{'}-1=-2\left(x-1\right)\\ y\text{'}-2=-2\left(y-2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3-1=-2x+2\\ 0-2=-2y+4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=3\end{array}\right.\end{array}$. Vậy $K\left(0;3\right)$.

Lại có $R\text{'}=\left|k\right|.R\iff R=\frac{R\text{'}}{\left|k\right|}=\frac{4}{2}=2$.

Vậy đường tròn $\left(C\right):x^2+{\left(y-3\right)}^2=4$

Ta thấy, thay tọa độ của điểm $N\left(-2;3\right)$ vào đường tròn (C) thấy thỏa mãn.

Vậy N thuộc đường tròn (C).