Cho tam giác ABC có M là điểm đồng quy của ba đường phân giác. Qua M vẽ đường thẳng song song với BC và cắt AB, AC lần lượt tại N và P. Chứng minh rằng NP = BN + CP.

Tam giác ABC có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác.

Do đó AH là đường cao ứng với cạnh BC.

Kéo dài AH cắt BC tại M.

Khi đó AH ⊥ BC tại M (1)

Vì tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC.

Xét ΔBMA và ΔCMA có:

$\widehat{BMA}=\widehat{CMA}\left(=90°\right)$,

AM là cạnh chung,

AB = AC (chứng minh trên)

Do đó ΔBMA = ΔCMA (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra BM = CM (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ BC tại trung điểm M của BC.

Do đó AH là đường trung trực của BC.

Vậy AH là đường trung trực của BC.

b) Vì BO là phân giác của góc ABC nên $\widehat{ABO}=\widehat{CBO}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$

Vì CO là phân giác của góc ACB nên $\widehat{ACO}=\widehat{BCO}=\frac{\widehat{ACB}}{2}$

Trong DCOB ta có: $\widehat{BOC}+\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Mà $\widehat{CBO}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$ , $\widehat{BCO}=\frac{\widehat{ACB}}{2}$, $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°$.

Suy ra $\widehat{BOC}=180°-\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=180°-\frac{90°}{2}=135°$

Vậy $\widehat{BOC}=135°.$