Câu hỏi:
02/01/2023 1,767
Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sin 2x\tan x\] thỏa mãn \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\]. Giá trị của \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\] là:
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có: \[F\left( x \right) = \int {\sin 2x.\tan xdx} = \int {2\sin x.\cos x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} = 2\int {{{\sin }^2}xdx} \].
Suy ra \[F\left( x \right) = \int {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} = x - \frac{{\sin 2x}}{2} + C\].
Theo giả thiết, ta có: \[F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} - \frac{1}{2}\sin \frac{{2\pi }}{3} + C = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow C = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\].
Vậy \[F\left( x \right) = x - \frac{{\sin 2x}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3}\].
Do đó \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}\sin 2\left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} - \frac{\pi }{{12}}\].
Chọn D.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\] trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] và \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\]. Tổng \[S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right)\] là
Xem đáp án »
02/01/2023
10,730
Câu 2:
Nguyên hàm của hàm số \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \] là:
Xem đáp án »
02/01/2023
6,080
Câu 3:
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}\] là:
Xem đáp án »
01/01/2023
6,029
Câu 4:
Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}2x.{\cos ^3}2x\] thỏa \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\]. Giá trị \[F\left( {2019\pi } \right)\] là:
Xem đáp án »
02/01/2023
5,692
Câu 5:
Nguyên hàm \[U = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2022}}}}dx} \] là:
Xem đáp án »
02/01/2023
5,510
Câu 6:
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{5x - 13}}{{{x^2} - 5x + 6}}\] là:
Xem đáp án »
01/01/2023
5,403
Câu 7:
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\], thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}};\;f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\] và \[f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right)\] là:
Xem đáp án »
01/01/2023
5,084
về câu hỏi!