Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}2x.{\cos ^3}2x\] thỏa \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\]. Giá trị \[F\left( {2019\pi } \right)\] là:

Hướng dẫn giải

Đặt \[u = \sin 2x \Rightarrow du = 2\cos 2xdx \Rightarrow \frac{1}{2}du = \cos 2xdx\]

Ta có \[\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {{{\sin }^2}2x.{{\cos }^3}2xdx} = \frac{1}{2}\int {{u^2}.\left( {1 - {u^2}} \right)du} = \frac{1}{2}\int {\left( {{u^2} - {u^4}} \right)du} \\\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{6}{u^3} - \frac{1}{{10}}{u^5} + C = \frac{1}{6}{\sin ^3}2x - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}2x + C\end{array}\]

\[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{6}{\sin ^3}\frac{\pi }{2} - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}\frac{\pi }{2} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{{15}}\]

Vậy \[F\left( x \right) = \frac{1}{6}{\sin ^3}2x - \frac{1}{{10}}{\sin ^5}2x - \frac{1}{{15}}\]

Do đó \[F\left( {2019\pi } \right) = - \frac{1}{{15}}\]

Chọn A.