Câu hỏi:

02/01/2023 3,538

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm xác định trên \[\mathbb{R}\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,f\left( x \right) > 0\] và \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\forall x \in \mathbb{R}\]. Giá trị \[f\left( 1 \right)\] là:

Đáp án chính xác

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có: \[f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1\].

Suy ra \[\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \int {\frac{{d\left( {1 + {f^2}\left( x \right)} \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + C\]

Theo giả thiết \[f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \], suy ra \[\sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = C \Leftrightarrow C = 3\]

Với \[C = 3\] thì \[\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2} - 1} \]

Vậy \[f\left( 1 \right) = \sqrt {24} = 2\sqrt 6 \]

Chọn D.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\] trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] và \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\]. Tổng \[S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right)\] là

Xem đáp án » 02/01/2023 16,442

Câu 2:

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\], thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}};\;f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\] và \[f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right)\] là:

Xem đáp án » 01/01/2023 8,618

Câu 3:

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}\] là:

Xem đáp án » 01/01/2023 7,922

Câu 4:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 3\] và \[{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\]. Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\] là:

Xem đáp án » 02/01/2023 7,543

Câu 5:

Nguyên hàm của hàm số \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \] là:

Xem đáp án » 02/01/2023 7,193

Câu 6:

Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}2x.{\cos ^3}2x\] thỏa \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\]. Giá trị \[F\left( {2019\pi } \right)\] là:

Xem đáp án » 02/01/2023 7,021

Câu 7:

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\] thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}};\;f\left( 0 \right) = 1\] và \[f\left( 1 \right) = 2\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\] là:

Xem đáp án » 01/01/2023 6,691

Bình luận


Bình luận