Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 ,f\left( x \right) > 0$ và $f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\forall x \in \mathbb{R}$. Giá trị $f\left( 1 \right)$ là:

Hướng dẫn giải

Ta có: $f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1$.

Suy ra $\int {\frac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \int {\frac{{d\left( {1 + {f^2}\left( x \right)} \right)}}{{2\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}} = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + C$

Theo giả thiết $f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2$, suy ra $\sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = C \Leftrightarrow C = 3$

Với $C = 3$ thì $\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} = {x^2} + x + 3 \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {{x^2} + x + 3} \right)}^2} - 1}$

Vậy $f\left( 1 \right) = \sqrt {24} = 2\sqrt 6$

Chọn D.