Câu hỏi:

03/01/2023 585

Nguyên hàm \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} \] là:

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Đặt \[x = 2\sin t\] với \[t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]. Ta có \[\cos t > 0\] và \[dx = 2\cos tdt\].

Khi đó \[I = \int {\frac{{4{{\sin }^2}t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}2\cos tdt} = \int {4{{\sin }^2}tdt} \] (vì \[\cos t > 0,\forall t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]).

Suy ra \[I = 2\int {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} = 2t - \sin 2t + C\]

Từ \[x = 2\sin t \Rightarrow t = \arcsin \frac{x}{2}\] và \[\sin 2t = 2\sin t.\cos t = \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2}\]

Vậy \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} = 2\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C\]

Chọn D.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

Phân tích \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}\]

Khi đó \[F\left( x \right) = \int {\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}d\left( {{x^2} + x} \right)} = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + C\].

Mặt khác \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\].

Vậy \[F\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + 1 = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + 1 = - \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 1\].

Do đó \[\begin{array}{l}S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right) = - \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019\\\;\;\; = - \left( {1 - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019 = 2018 + \frac{1}{{2020}} = 2018\frac{1}{{2020}}\end{array}\]

Chọn C.

Lời giải

Hướng dẫn giải

\[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{2}{{{x^2} - 1}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C\]

Hay \[f\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + {C_1}\;khi\;x > 1\\\ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}} + {C_2}\;khi\; - 1 < x < 1\\\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + {C_3}\;khi\;x < - 1\end{array} \right.\]

Theo bài ra, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\\f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} + {C_3} = 2\ln 2\\{C_2} = 0\end{array} \right.\]

Do đó \[f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right) = \ln 3 + {C_3} + {C_2} + \ln \frac{3}{5} + {C_1} = 2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\].

Chọn C.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}\] là:

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay