Câu hỏi:
03/01/2023 374
Nguyên hàm \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} \] là:
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đặt \[x = 2\sin t\] với \[t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]. Ta có \[\cos t > 0\] và \[dx = 2\cos tdt\].
Khi đó \[I = \int {\frac{{4{{\sin }^2}t}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }}2\cos tdt} = \int {4{{\sin }^2}tdt} \] (vì \[\cos t > 0,\forall t \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\]).
Suy ra \[I = 2\int {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} = 2t - \sin 2t + C\]
Từ \[x = 2\sin t \Rightarrow t = \arcsin \frac{x}{2}\] và \[\sin 2t = 2\sin t.\cos t = \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2}\]
Vậy \[I = \int {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}dx} = 2\arcsin \frac{x}{2} - \frac{{x\sqrt {4 - {x^2}} }}{2} + C\]
Chọn D.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\] trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] và \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\]. Tổng \[S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right)\] là
Xem đáp án »
02/01/2023
10,731
Câu 2:
Nguyên hàm của hàm số \[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} \] là:
Xem đáp án »
02/01/2023
6,080
Câu 3:
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}\] là:
Xem đáp án »
01/01/2023
6,029
Câu 4:
Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}2x.{\cos ^3}2x\] thỏa \[F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0\]. Giá trị \[F\left( {2019\pi } \right)\] là:
Xem đáp án »
02/01/2023
5,692
Câu 5:
Nguyên hàm \[U = \int {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^{2020}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2022}}}}dx} \] là:
Xem đáp án »
02/01/2023
5,510
Câu 6:
Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{5x - 13}}{{{x^2} - 5x + 6}}\] là:
Xem đáp án »
01/01/2023
5,403
Câu 7:
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\], thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}};\;f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\] và \[f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right)\] là:
Xem đáp án »
01/01/2023
5,084
về câu hỏi!