Tìm \[\int {{e^x}.\sin xdx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \cos xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

Khi đó \[\int {{e^x}.\sin xdx} = {e^x}.\sin x - \int {{e^x}.\cos xdx} \]

Đến đây ta phải áp dụng phương pháp từng phần một lần nữa, cụ thể:

Với \[\int {{e^x}.\cos xdx} \] ta thực hiện tương tự như sau:

+ Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = - \sin xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\]

+ Khi đó \[\int {{e^x}.\cos xdx} = {e^x}.\cos x + \int {{e^x}.\sin xdx} \]

Vậy \[\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\int {{e^x}.\sin xdx} = {e^x}.\sin x - \int {{e^x}.\cos xdx} \\ \Leftrightarrow \int {{e^x}.\sin xdx} = {e^x}.\sin x - \left( {{e^x}.\cos x + \int {{e^x}.\sin xdx} } \right)\\ \Leftrightarrow \int {{e^x}.\sin xdx} = \frac{1}{2}{e^x}.\left( {\sin x - \cos x} \right) + C\end{array}\]

Chọn C.