Cho parabol \(\left( P \right)\): \(y = 16 - {x^2}\) và hai điểm \(A\left( {a;0} \right)\), \(B\left( { - a;0} \right)\); \(a < 0 < 4\). Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục Ox, \(\left( {{H_1}} \right)\) là hình chữ nhật ABCD với C, D là hai điểm thuộc \(\left( P \right)\). Gọi V là thể tích hình tròn xoay có được khi xoay \(\left( H \right)\) quanh Oy và \({V_1}\) là thể tích hình tròn xoay có được khi xoay \(\left( {{H_1}} \right)\) quanh Oy. Giá trị lớn nhất của tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{V}\) bằng

Hướng dẫn giải

Ta có \(V = {V_y} = \pi \int\limits_0^{16} {\left( {16 - y} \right)dy} = 128\pi \)

Vì \(D \in \left( P \right)\) nên \(D\left( {a;16 - {a^2}} \right)\). Suy ra \(AD = 16 - {a^2}\).

Do đó khi xoay \(\left( {{H_1}} \right)\) quanh Oy ta được hình trụ tròn có bán kính \(R = a\) và chiều cao \(h = 16 - {a^2}\). Suy ra \({V_1} = \pi {a^2}\left( {16 - {a^2}} \right) = \pi \left( {16{a^2} - {a^4}} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \pi \left( {16{a^2} - {a^4}} \right)\) trên \(\left[ {0;4} \right]\) ta thấy: \(f'\left( x \right) = \pi \left( {32x - 4{x^3}} \right)\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\sqrt 2 \\x = - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 64\pi \).

Vậy \(\max \left( {\frac{{{V_1}}}{V}} \right) = \frac{{64\pi }}{{128\pi }} = \frac{1}{2}\) khi \(a = 2\sqrt 2 \).

Chọn C.