Câu hỏi:

13/07/2022 3,006

Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và \[\widehat {DAB} = 120^\circ .\] Khẳng định nào sau đây là đúng?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: D

Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và góc DAB = 120^0. Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

• Xét phương án A:

Vì ABCD là hình thoi nên AB // CD suy ra \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} .\)

Do đó phương án A là sai.

• Xét phương án B:

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Khi đó \(\overrightarrow {BD} \bot \overrightarrow {AC} \) nên \[\overrightarrow {BD} \ne \overrightarrow {AC} .\]

Do đó phương án B là sai.

• Xét phương án C:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = AB = 1.

Xét ABD có AB = AD = 1 và \(\widehat {DAB} = 120^\circ ,\) áp dụng định lí cosin ta có:

BD2 = AD2 + AB2 – 2.AD.AB.cos\(\widehat {DAB}\)

BD2 = 12 + 12 – 2.1.1.cos120°

BD2 = 3

BD = \(\sqrt 3 \)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = \sqrt 3 .\)

Do đó phương án C là sai.

• Xét phương án D:

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 nên AD = CD = 1 .

Mặt khác \(\widehat {DAB} = 120^\circ \) nên \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {DAB} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

Tam giác ADC có AD = DC nên là tam giác cân lại có \(\widehat {ADC} = 60^\circ \)

Suy ra ADC là tam giác đều

AC = AD = CD = 1.

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 1.\)

Do đó phương án D là đúng.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Lời giải

 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2). Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. (ảnh 1)

*Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC.

Hay AH.BC=0 và BH.AC=0.

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC.

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; –2) và H(x; y), ta có:

AH=x+2;y1 và BC=4;6.

AH.BC=4.x+26.y1=0.

⇔ 4x – 6y = –14

⇔ 2x – 3y = –7    (1)

BH=x1;y4 và AC=7;3.

BH.AC=7.x13.y4=0.

⇔ 7x – 3y = –5    (2)

Trừ vế theo vế của (2) cho (1), ta có: 5x = 2.

x=25.

Thay x=25 vào (1) ta được: 2.253y=7.

3y=395

y=135.

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là H25;135.

*Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Gọi M là trung điểm của BC.

Kẻ đường kính AD. Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD^=ACD^=90°.

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC.

Mà BH ⊥ AC, CH ⊥ AB (do H là trực tâm của tam giác ABC).

Suy ra BH // CD, CH // BD.

Khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Vì vậy hai đường chéo BC và DH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành).

Mà M là trung điểm của BC.

Suy ra M cũng là trung điểm của DH.

Mà I là trung điểm của AD.

Do đó IM là đường trung bình của tam giác AHD.

Suy ra IM // AH và AH = 2.IM (tính chất đường trung bình của một tam giác).

Khi đó hai vectơ AH,  IM cùng phương, cùng hướng và có độ dài AH=2.IM.

Vì vậy AH=2.IM, với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; –2), H25;135 và I(a; b), ta có:

AH=125;85;

⦁ Vì M là trung điểm BC nên xM=1+52=3yM=4+22=1

Suy ra tọa độ M(3; 1).

IM=3a;1b.

2IM=62a;22b.

Ta có AH=2.IM (chứng minh trên).

125=62a85=22b2a=1852b=25a=95b=15I95;15.

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I95;15.

Câu 2

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng vecto AB . vecto AC bằng: (ảnh 1)

Vì ABCD là hình vuông nên

ABC vuông cân tại B

Do đó:

• \(\widehat {BAC} = 45^\circ \)

• AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) (theo định lí Pythagore)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) = AB.AC.cos\[\widehat {BAC}\]

= a.a.\(\sqrt 2 \).cos45°

= a.a\(\sqrt 2 \).\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

= a2.

Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) = a2.

Vậy ta chọn phương án C.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP