Câu hỏi:
13/07/2022 1,807Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \[\overrightarrow {MC} \] bằng
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án đúng là: B
Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C
\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{BM + MC}} = \frac{2}{{2 + 1}}\)
Hay \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC\)
Do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)
Tương tự ta có \(\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)
• \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BM} = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)
\( = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)
\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)
• \[\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]
\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)
• Khi đó:
\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\)\( = - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{C^2} + \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
\( = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{C^2}\)
• Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}\)
= 3a.3a.cos60° = \(\frac{9}{2}{a^2}.\)
Do đó \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{B^2}\]
\[ = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{9}A{B^2}\]
\[ = \frac{1}{9}.\frac{9}{2}{a^2} - \frac{1}{9}.{\left( {3a} \right)^2}\]
= \(\frac{1}{2}\)a2 – a2 = \( - \frac{1}{2}\)a2.
Vậy \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \]\( - \frac{1}{2}\)a2.
Ta chọn phương án B.
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Câu 2:
Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng:
Câu 3:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 3), B(5; −2) và G(2; 2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là
Câu 4:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là
Câu 5:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \] và \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow v .\]
a) Hãy biểu thị các vectơ \[\overrightarrow {AP} {\rm{, }}\overrightarrow {AQ} \] qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v .\)
b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.
Câu 6:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu 7:
Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng
về câu hỏi!