Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \[\overrightarrow {MC} \] bằng

Đáp án đúng là: B

Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{MC}} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{{BM}}{{BM + MC}} = \frac{2}{{2 + 1}}\)

Hay \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow BM = \frac{2}{3}BC\)

Do đó \(\overrightarrow {BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)

Tương tự ta có \(\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} .\)

• \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BM} = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)

\( = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = - \overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)

\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

• \[\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\( = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

• Khi đó:

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\)\( = - \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{C^2} + \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{C^2}\)

• Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a nên AB = AC = BC = 3a và \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.cos\widehat {BAC}\)

= 3a.3a.cos60° = \(\frac{9}{2}{a^2}.\)

Do đó \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{1}{9}A{B^2} - \frac{2}{9}A{B^2}\]

\[ = \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \frac{1}{9}A{B^2}\]

\[ = \frac{1}{9}.\frac{9}{2}{a^2} - \frac{1}{9}.{\left( {3a} \right)^2}\]

= \(\frac{1}{2}\)a² – a² = \( - \frac{1}{2}\)a².

Vậy \[\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \]\( - \frac{1}{2}\)a².

Ta chọn phương án B.