Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và \[\widehat {CAB} = 60^\circ .\]

Lấy các điểm M, N thoả mãn \[2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \] và \[\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \] (x ≠ –1). Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.

Lời giải

Ta có

• \[2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow 2\left( {\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BM} } \right) = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} - 2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {BM} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {BM} = - 2\overrightarrow {BA} + 3\overrightarrow {BC} \]

\[ = 2\overrightarrow {AB} + 3\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {AB} \]

\[ = 3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \]

• \[\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} } \right) = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x\overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} - \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} = \overrightarrow 0 \]

\[ \Rightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} \]

Do đó:

\[\left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = \left( {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right).\left( {3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\]

\[ = 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2} - x\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \]

\[ = \left( {3 - x} \right)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2}\]

= (3 – x).10 – 4² + 3x.5²

= 30 – 10x – 16 + 75x

= 65x + 14

Để AN ⊥ BM thì \[\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\]

\( \Leftrightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\) (với x ≠ –1)

65x + 14 = 0

x = \( - \frac{{14}}{{65}}\)

Vậy với x = \( - \frac{{14}}{{65}}\) thì AN ⊥ BM.