Câu hỏi:
12/07/2024 3,516Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \] và \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow v .\]
a) Hãy biểu thị các vectơ \[\overrightarrow {AP} {\rm{, }}\overrightarrow {AQ} \] qua hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v .\)
b) Tìm x đề A, P, Q thằng hàng.
Câu hỏi trong đề:
Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
• Vì P thuộc đoạn DM sao cho DP = 2PM
Nên \(\overrightarrow {PD} = - 2\overrightarrow {PM} \)
Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:
\(\overrightarrow {AD} - \left( { - 2} \right)\overrightarrow {AM} = \left[ {1 - \left( { - 2} \right)} \right]\overrightarrow {AP} \)
\( \Rightarrow 3\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {AD} + 3\overrightarrow {AM} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) (vì M là trung điểm của AB)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow u \)
• Vì Q thuộc đoạn BN sao cho BQ = xQN
\( \Rightarrow \overrightarrow {QB} = - x\overrightarrow {QN} \)
Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:
\(\overrightarrow {AB} - \left( { - x} \right)\overrightarrow {AN} = \left[ {1 - \left( { - x} \right)} \right]\overrightarrow {AQ} \)
\( \Rightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AN} \)
\( = \overrightarrow {AB} + x\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + x\overrightarrow {DN} \)
\( = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + x.\frac{1}{2}\overrightarrow {DC} \) (vì N là trung điểm của CD)
\( = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}x\overrightarrow {AB} \) (vì \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \))
\( = \left( {1 + \frac{1}{2}x} \right)\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} \)
\( \Rightarrow \left( {1 + x} \right)\overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{2}\overrightarrow u + x\overrightarrow v \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\overrightarrow u + \frac{x}{{x + 1}}\overrightarrow v \) (do x ≠ −1)
b) Với \(\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {AQ} = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}\overrightarrow u + \frac{x}{{x + 1}}\overrightarrow v \)
Để A, P, Q thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AP} \) và \(\overrightarrow {AQ} \) cùng phương
\( \Leftrightarrow \frac{{\frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{{\frac{x}{{x + 1}}}}{{\frac{1}{3}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}}\)
x + 2 = 2x
x = 2 (thỏa mãn x ≠ –1)
Vậy x = 2 thì ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Xem đáp án »
12/07/2024
5,651
Câu 2:
Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng:
Xem đáp án »
13/07/2022
4,049
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \] bằng
Xem đáp án »
13/07/2022
3,798
Câu 4:
Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng
Xem đáp án »
13/07/2022
3,625
Câu 5:
B. Tự luận
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.
Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\) những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} .\)
Xem đáp án »
12/07/2024
3,442
Câu 6:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 1), B(2; −1), C(4; 6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là
Xem đáp án »
13/07/2022
3,391
về câu hỏi!