Câu hỏi:

11/07/2024 1,103

Cho hình thang vuông ABCD có \[\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = 90^\circ ,\] BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Cho hình thang vuông ABCD có góc DAB = góc ABC = 90^0 , BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD, và I là (ảnh 1)

Vì G là trọng tâm của tam giác MCD nên ta có:

\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành

Do đó \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} \)

\( \Rightarrow 3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} } \right) + \overrightarrow {AD} \)

\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} \) (do \(\overrightarrow {AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \))

\( = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \)

Vì I thuộc cạnh CD nên hai vectơ \(\overrightarrow {IC} \) và \[\overrightarrow {ID} \] ngược hướng nhau

Lại có 9IC = 5ID nên \[9\overrightarrow {IC} = - 5\overrightarrow {ID} \] hay \[\overrightarrow {IC} = - \frac{5}{9}\overrightarrow {ID} \]

Theo Nhận xét ở Ví dụ 2, Bài 9 (trang 53, Sách bài tập, Toán 10, Tập một), với điểm A ta có:

\(\overrightarrow {AC} - \left( { - \frac{5}{9}} \right)\overrightarrow {AD} = \left[ {1 - \left( { - \frac{5}{9}} \right)} \right]\overrightarrow {AI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \frac{5}{9}\overrightarrow {AD} = \left[ {1 + \frac{5}{9}} \right]\overrightarrow {AI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \frac{5}{9}\overrightarrow {AD} = \frac{{14}}{9}\overrightarrow {AI} \)

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} } \right) + 5\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 9\overrightarrow {AE} + 5\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 9.\frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + 5\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} \]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 6\left( {\frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} } \right)\]

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 6.3\overrightarrow {AG} \] (do \(3\overrightarrow {AG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \))

\[ \Rightarrow 14\overrightarrow {AI} = 18\overrightarrow {AG} \]

\[ \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{9}{7}\overrightarrow {AG} \]

Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AI} \) và \[\overrightarrow {AG} \] cùng phương

Suy ra ba điểm A, I, G thẳng hàng.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Xem đáp án » 12/07/2024 9,737

Câu 2:

Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng:

A. a²\(\sqrt 2 ;\)

B. \(\frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }};\)

C. a²;

D. \(\frac{{{a^2}}}{2}.\)

Xem đáp án » 13/07/2022 6,381

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \] bằng

A. \(\sqrt {13} ;\)

B. \(2\sqrt {13} ;\)

C. 4;

D. 2.

Xem đáp án » 13/07/2022 5,735

Câu 4:

Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng

A. \(\sqrt 3 ;\)

B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2};\)

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2};\)

D. \(2\sqrt 3 .\)

Xem đáp án » 13/07/2022 5,227

Câu 5:

B. Tự luận

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác \(\overrightarrow 0 ,\) có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} ;\) những vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} .\)

Xem đáp án » 12/07/2024 4,769

Câu 6:

Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng

A. \(\frac{5}{{12}};\)

B. \(\frac{7}{{12}};\)

C. \(\frac{5}{7};\)

D. \(\frac{7}{5}.\)

Xem đáp án » 13/07/2022 4,759

Câu 7:

Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và \(\widehat {ABC} = 60^\circ .\) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} \) bằng

A. 2;

B. 4;

C. \(\sqrt {19} ;\)

D. \(\frac{{\sqrt {19} }}{2}.\)

Xem đáp án » 13/07/2022 4,413

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng:

Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \] bằng

Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng

Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng

Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và \(\widehat {ABC} = 60^\circ .\) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} \) bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2). Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng:

Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AB} \] bằng

Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng

Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của \(\frac{{AP}}{{AB}}\) bằng

Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và \(\widehat {ABC} = 60^\circ .\) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BA} \) bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).
Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.