Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ \(\overrightarrow a \) = (1; 2), \(\overrightarrow b \) = (3; –4), \(\overrightarrow c \) = (–5; 3).

Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b + \overrightarrow c .\)

Lời giải

Với \(\overrightarrow a \) = (1; 2), \(\overrightarrow b \) = (3; –4) và \(\overrightarrow c \) = (–5; 3) ta có:

• \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 ;\)

• \(\overrightarrow b + \overrightarrow c \) = (–2; –1)

\[ \Rightarrow \left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 .\]

• \[\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\] = 1.(–2) + 2.(–1) = –2 – 2 = –4.

Mà cos\[\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right|}} = \frac{{ - 4}}{{\sqrt 5 .\sqrt 5 }} = \frac{{ - 4}}{5}.\]

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) \approx 143^\circ 7'48''\)

Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b + \overrightarrow c \) khoảng 143°7'48''.