Đề thi giữa kì 2 Toán 7 (Tự luận) có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{{1,2}}{{x + 3}} = \frac{5}{4}\) nên \(5\left( {x + 3} \right) = 4.1,2\) hay \(5x + 15 = 4,8\), do đó \(5x = 4,8 - 15\) được \(5x = 10,2\).

Suy ra \(x = 2,04\).

Vậy \(x = 2,04\).

b) \(\frac{x}{8} = \frac{y}{{12}}\) và \(x + y = 60\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{8} = \frac{y}{{12}} = \frac{{x + y}}{{8 + 12}} = \frac{{60}}{{20}} = 3\).

Suy ra \(\frac{x}{8} = 3\) nên \(x = 24\) và \(\frac{y}{{12}} = 3\) nên \(y = 36\).

Vậy \(x = 24\) và \(y = 36\).

c) \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\) và \(x + y + z = 30\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 5}} = \frac{{30}}{{10}} = 3\).

Suy ra \(x = 2.3 = 6;{\rm{ }}y = 3.3 = 9;{\rm{ }}z = 5.3 = 15\).

Vậy \(x = 6;y = 9;z = 15\).

Hướng dẫn giải

2.1. Gọi thời gian để 5 máy cày cày xong cánh đồng là \[x\] giờ \[\left( {x > 0} \right)\].

Vì năng suất của mỗi máy cày là như nhau nên để cày cùng một cánh đồng, số máy cày tỉ lệ nghịch với số giờ cày xong cánh đồng.

Theo tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có: \[\frac{{30}}{x} = \frac{5}{3}\] do đó, \[x = \frac{{3.30}}{5} = 18\].

Vậy 5 máy cày cày xong cánh đồng đó hết 18 giờ.

2.2. Gọi chiều dài của ba cuộn vải loại \(I,\) loại \(II,\) loại \(III\) lần lượt là \(a,b,c{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) với \(\left( {0 < a,b,c < 168} \right)\).

Sau một ngày, cửa hàng bán được số vải của các cuộn là

Cuộn vải loại \(I\) bán được: \(a - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Cuộn vải loại \(II\) bán được: \(b - \frac{1}{3}b = \frac{2}{3}b{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Cuộn vải loại \(III\) bán được: \(c - \frac{3}{5}c = \frac{2}{5}c{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Do giá tiền \(1{\rm{ m}}\) vải của các cuộn bằng nhau nên số mét vải bán được của các cuộn tỉ lệ với số tiền bán được, mà số tiền bán được của các cuộn tỉ lệ với \(2:3:2\). Do đó, số vải bán được của các cuộn tỉ lệ với \(2:3:2\).

Ta có: \(\frac{{\frac{1}{3}a}}{2} = \frac{{\frac{2}{3}b}}{3} = \frac{{\frac{2}{5}c}}{2}\) suy ra \(\frac{a}{6} = \frac{{2b}}{9} = \frac{{2c}}{{10}}\) suy ra \(\frac{a}{6} = \frac{b}{{4,5}} = \frac{c}{5}\).

Mà tổng chiều dài của ba cuộn vải là \(186{\rm{ m}}\) nên \(a + b + c = 186{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{6} = \frac{b}{{4,5}} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{6 + 4,5 + 5}} = \frac{{186}}{{15,5}} = 12\).

Suy ra \(\frac{a}{6} = 12\) nên \(a = 72{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

\(\frac{b}{{4,5}} = 12\) nên \(b = 54{\rm{ m}}\).

\(\frac{c}{5} = 12\) nên \(c = 60{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy chiều dài của ba cuộn vải loại \(I,\) loại \(II,\) loại \(III\) lần lượt là \(72{\rm{ m, 54 m, 60 m}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có:

\(M\left( x \right) = - 5{x^4} + 3{x^5} + x\left( {{x^2} + 5x} \right) + 14{x^4} - 3{x^5} - {x^3} + {x^2} + 1\)

\(M\left( x \right) = - 5{x^4} + 3{x^5} + {x^3} + 5{x^2} + 14{x^4} - 3{x^5} - {x^3} + {x^2} + 1\)

\(M\left( x \right) = \left( {3{x^5} - 3{x^5}} \right) + \left( {14{x^4} - 5{x^4}} \right) + \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {5{x^2} + {x^2}} \right) + 1\)

\(M\left( x \right) = 9{x^4} + 6{x^2} + 1\).

b) Ta có \(M\left( x \right) = 9{x^4} + 6{x^2} + 1\) có hệ số cao nhất là \(9\); hệ số tự do là \(1\) và bậc là \(4\).

c) Ta có: \(M\left( 2 \right) = {9.2^4} + {6.2^2} + 1 = 169\);

\(M\left( 1 \right) = {9.1^4} + {6.1^2} + 1 = 16\);

\(M\left( { - 1} \right) = 9.{\left( { - 1} \right)^4} + 6.{\left( { - 1} \right)^2} + 1 = 16\).

d) Ta có: \(M\left( x \right) = 9{x^4} + 6{x^2} + 1\) hay \(M\left( x \right) = {\left( {3{x^2} + 1} \right)^2}\).

Nhận thấy \(3{x^2} + 1 > 0\) với mọi \(x\) nên \(M\left( x \right) = {\left( {3{x^2} + 1} \right)^2} > 0\) với mọi \(x\).

3.2. Ta có: \(P\left( x \right) = {x^7} - 80{x^6} + 80{x^5} - 80{x^4} + ... + 80x + 15\)

Nhận thấy \(80 = 79 + 1 = x + 1\).

Do đó, ta có: \(P\left( x \right) = {x^7} - \left( {x + 1} \right){x^6} + \left( {x + 1} \right){x^5} - \left( {x + 1} \right){x^4} + ... + \left( {x + 1} \right)x + 15\)

\(P\left( x \right) = {x^7} - {x^7} - {x^6} + {x^6} + {x^5} - {x^5} - {x^4} + ... + {x^2} + x + 15\)

\(P\left( x \right) = x + 15\)

\(P\left( x \right) = 79 + 15 = 94\).

Vậy \(P\left( x \right) = 94.\)

Hướng dẫn giải

4.1.

Xét

\(\Delta ABE\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat {AEB} = 180^\circ \) (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat B = 180^\circ - \widehat A - \widehat {AEB}\) (1)

Xét \(\Delta CED\) có \(\widehat C + \widehat D + \widehat {CED} = 180^\circ \) (Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \widehat D - \widehat {CED}\) (2)

Mà \(\widehat {AEB} = \widehat {CED}\) (Hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat B = \widehat C\).

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DCE\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \)

\(AB = CD\)

\(\widehat B = \widehat C\)

Do đó, \(\Delta ABE = \Delta DCE\) (g.c.g)

Suy ra \(AE = DE\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(ED = 4{\rm{ cm}}\) nên \(EA = 4{\rm{ cm}}\).

Khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(AB\) là \(EA\) (Vì \(AE \bot AB\) tại \(A\))

Vậy khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(AB\) là \(4{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

4.2.

TH1: Nếu cạnh đã cho có độ dài \(6{\rm{ cm}}\)là cạnh đáy thì hai cạnh còn lại là \(\left( {20 - 6} \right):2 = 7{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

TH2: Nếu cạnh đã cho có độ dài \(6{\rm{ cm}}\) là cạnh bên của tam giác cân thì độ dài cạnh đáy là

\(20 - 6.2 = 8{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Do đó, cạnh còn lại có thể có độ dài bằng \({\rm{7 cm}}\) hoặc \({\rm{8 cm}}\).

Hướng dẫn giải

a) Vì hai trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).

Do đó, \(BG = \frac{2}{3}BD;CG = \frac{2}{3}CE\) (tính chất trọng tâm tam giác)

Mà \(BD = CE\) (giả thiết) nên \(\frac{2}{3}BD = \frac{2}{3}CE\) hay \(BG = CG\).

Suy ra tam giác \(GBC\) là tam giác cân.

b) Ta có: \(BG = \frac{2}{3}BD\) nên \(DG = \frac{1}{3}BD\) do đó \(BG = 2DG\) hay \(DG = \frac{1}{2}BG.\)

Lại có \(CG = \frac{2}{3}CE\) nên \(GE = \frac{1}{3}CE\) do đó \(CG = 2CE\) hay \(CE = \frac{1}{2}CG\).

Mà \(BG = CG\) (cmt) nên \(DG = EG\).

Ta có: \(DG + EG = \frac{1}{2}BG + \frac{1}{2}CG = \frac{1}{2}\left( {BG + CG} \right)\).

Xét tam giác \(GBC\) có \(BG + CG > BG\) (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Vậy \(DG + EG > \frac{1}{2}BC\) (đpcm).

Hướng dẫn giải

Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\), suy ra \(a = k.b;c = k.d\).

Ta có:

\(\frac{{5a + 3b}}{{3a - 7b}} = \frac{{5kb + 3b}}{{3kb - 7b}} = \frac{{b\left( {5k + 3} \right)}}{{b\left( {3k - 7} \right)}} = \frac{{5k + 3}}{{3k - 7}}\) (1)

\(\frac{{5c + 3d}}{{3c - 7d}} = \frac{{5kd + 3d}}{{3kd - 7d}} = \frac{{d\left( {5k + 3} \right)}}{{d\left( {3k - 7} \right)}} = \frac{{5k + 3}}{{3k - 7}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{5a + 3b}}{{3a - 7b}} = \frac{{5c + 3d}}{{3c - 7d}} = \frac{{5k + 3}}{{3k - 7}}\).

Vậy \(\frac{{5a + 3b}}{{3a - 7b}} = \frac{{5c + 3d}}{{3c - 7d}}\) (đpcm).