$A = \frac{{2.\frac{x}{y} + 3.\frac{y}{y}}}{{\frac{x}{y} + 2.\frac{y}{y}}} = \frac{{2.\frac{x}{y} + 3}}{{\frac{x}{y} + 2}} = \frac{{2.\frac{1}{2} + 3}}{{\frac{1}{2} + 2}} = \frac{8}{5}$.

Cách 2: Từ $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ suy ra $y = 2x$. Thay vào $A$ ta được: $A = \frac{{2x + 3y}}{{x + 2y}} = \frac{{2x + 3 \cdot 2x}}{{x + 2 \cdot 2x}} = \frac{{8x}}{{5x}} = \frac{8}{5}.$

Câu 2/10

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\left| {y - 2} \right| \ge 0$ với mọi $y \in \mathbb{R}$

Khi đó ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| \ge 0$ nên ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 0 + 10.$

Do đó ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 10$.

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 9 = 0\\\left| {y - 2} \right| = 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = 2\end{array} \right.$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ bằng $10$ khi $\left( {x;y} \right) = \left( { - 3;2} \right)$ hay $\left( {x\,;y} \right) = \left( {3\,;2} \right)$.

Câu 3/10

Tìm số nguyên dương \[x,{\rm{ }}y\] biết: $25 - {y^2} = 8{\left( {x - 2005} \right)^2}$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có $25 - {y^2} = 8{\left( {x - 2005} \right)^2}$ nên ${(x - 2005)}^{2} = \frac{25 - y^{2}}{8} (1)$

Vì $x,\,y$ là các số nguyên dương và ${\left( {x - 2005} \right)^2} \ge 0$ nên $\left( 1 \right)$ suy ra \[0 < y \le 5\,;\,\,25 - {y^2} \in B\left( 8 \right).\]

Ta lập bảng sau:

$y$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$25 - {y^2}$	$24$	$21$	$16$	$9$	$0$
${\left( {x - 2005} \right)^2}$	3	Không thỏa mãn	2	Không thỏa mãn	$0$
$x$	Không thỏa mãn	Không thỏa mãn	Không thỏa mãn	Không thỏa mãn	$2005$

Vậy $x = 2005\,;\,\,y = 5$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 4/10

Tìm các cặp số $\left( {x\,;\,\,y} \right)$ thỏa mãn: ${\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \le 0$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \ge 0$ với mọi $y \in \mathbb{R}$

Khi đó ${\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \le 0$ nên ${\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| = 0$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{2021}}{{2022}} = 0\\y - \frac{{2022}}{{2023}} = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{2021}}{{2022}}\\y = \frac{{2022}}{{2023}}\end{array} \right.$.

Câu 5/10

Tìm giá trị của \[x\] thỏa mãn $\left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có $VT = \left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {2x + 3} \right| + \left| {1 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 3 + 1 - 2x} \right| = 4$.

Ta có ${\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0$ suy ra $3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0$ nên $3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2$.

Do đó $VP = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} \le 4$.

Ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}VT \ge 4\\VP \le 4\end{array} \right.$. Mà $VT = VP$ nên $VT = VP = 4$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\left( {2x + 3} \right)\left( {1 - 2x} \right) > 0\end{array} \right.$ nên $x = - 1$.

Vậy $x = - 1$.

Câu 6/10

Một công ty phát triển kĩ thuật có một số thông báo rất hấp dẫn: Cần thuê một nhóm kĩ thuật viên hoàn thành một sự án trong vòng 17 ngày, công việc rất khó khăn nhưng tiền công cho dự án thì rất hấp dẫn. Nhóm kĩ thuật viên được nhận làm dự án sẽ chọn một trong hai phương án trả tiền công như sau:

− Phương án 1: Nhận một lần và nhận tiền công trước với mức tiền 170 triệu đồng.

− Phương án 2: Ngày đầu tiên nhận 3 đồng, ngày sau nhận gấp 3 lần ngày trước đó.

Em hãy giúp nhóm kĩ thuật lựa chọn phương án để nhận nhiều tiền công hơn và giải thích tại sau chọn phương án đó.

Xem đáp án

Lời giải

Xét phương án 2, ta có: số tiền nhận ngày thứ nhất là 3 đồng; ngày thứ hai gấp ba lần ngày thứ nhất là 9 đồng, ngày thứ ba là $9 \cdot 3\left( { = {3^3}} \right)$, ngày thứ tư là ${3^4}$, … ngày thứ 17 là ${3^{17}}$ (đồng).

Như vậy, số tiền công nhận được theo phương án 2 là:

$T = 1 + 3 + {3^2} + .... + {3^{17}}$

Có: $3T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}}$

Suy ra $3T - T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}} - \left( {1 + 3 + {3^2} + .... + {3^{17}}} \right)$

$2T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}} - 1 - 3 - {3^2} - .... - {3^{17}}$

$2T = \left( {3 - 3} \right) + \left( {{3^2} - {3^2}} \right) + \left( {{3^3} - {3^3}} \right) + .... + \left( {{3^{17}} - {3^{17}}} \right) + {3^{18}} - 1$

$2T = {3^{18}} - 1$

$T = \frac{{{3^{18}} - 1}}{2} = 193{\rm{ }}710{\rm{ }}244$ (đồng).

Do đó, nên chọn phương án 2 để nhận được nhiều tiền công hơn.

Câu 7/10