Đề ôn thi Đánh giá năng lực Đại học Sư phạm Hà Nội môn Toán có đáp án - Đề số 5

Điều kiện: \(x > 3\).

Ta có \({\log _2}\left( {x - 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 3} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1{\rm{ }}(l)\\x = 5{\rm{ (n)}}\end{array} \right.\).

Vậy \(x = 5\). Chọn A.

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 2x,\,y = - 2{x^2} + 2x\] và hai đường thẳng \[x = 0,\,x = 1\] là \[\int\limits_0^1 {\left| {\left( {{x^2} - 2x} \right) - \left( { - 2{x^2} + 2x} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = 1\]. Chọn A.

Ta có \({\rm{sin}}3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\rm{sin}}3x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Chọn A.

Tiệm cận ngang \(y = a \Rightarrow a = 1\).

Tiệm cận đứng \(x = - c \Rightarrow c = - 2\).

Giao điểm với trục tung \(y = \frac{b}{c} = \frac{b}{{ - 2}} = - 1 \Rightarrow b = 2\).

Vậy \(P = 2{\rm{a}} - b + 3c = 2 - 2 - 6 = - 6\). Chọn B.

Phương trình tham số của đường phân giác trong góc \[A\]: \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 6 - 4t\\z = 6 - 3t\end{array} \right.\] \[\left( d \right)\].

Gọi \[D\] là điểm đối xứng với \[M\] qua \[\left( d \right)\]. Khi đó \[D \in AC\]\[ \Rightarrow \] đường thẳng \[AC\]có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow {ND} \].

Ta xác định điểm \[D\].

Gọi \[K\] là giao điểm \[MD\] với \[\left( d \right)\]. Ta có \[K\left( {t;\,6 - 4t;\,6 - 3t} \right)\]; \[\overrightarrow {MK} = \left( {t;\,1 - 4t;\,3 - 3t} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow {MK} \bot {\vec u_d}\] với \[{\vec u_d} = \left( {1;\, - 4;\, - 3} \right)\] nên \[t - 4\left( {1 - 4t} \right) - 3\left( {3 - 3t} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\].

Suy ra \[K\left( {\frac{1}{2};\,4;\frac{9}{2}} \right)\], mà \[K\] là trung điểm \[MD\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_K} - {x_M}\\{y_D} = 2{y_K} - {y_M}\\{z_D} = 2{z_K} - {z_M}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 1\\{y_D} = 3\\{z_D} = 6\end{array} \right.\] hay \[D\left( {1;\,3;\,6} \right)\].

Một vectơ chỉ phương của \[AC\]là \[\overrightarrow {DN} = \left( {0;\, - 2;\, - 6} \right)\]. Hay \[\vec u = \left( {0;\,1;\,3} \right)\] là vectơ chỉ phương. Chọn B.

Bảng tần số tích lũy:

 Nhóm chứa Q₁ là \[\left[ {22;25} \right) \Rightarrow {Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 10}}{{27}}\left( {25 - 22} \right) = \frac{{71}}{3}\].

Nhóm chứa Q₃ là \(\left[ {28;31} \right) \Rightarrow {Q_3} = 28 + \frac{{\frac{{3 \cdot 100}}{4} - 68}}{{25}}\left( {31 - 28} \right) = 28,84\).

Khoảng tứ phân vị: \(\Delta Q = 28,84 - \frac{{71}}{3} \approx 5,2\). Chọn B.

Khối lập phương có \(6\) mặt là hình vuông bằng nhau.

Từ giả thiết suy ra diện tích một mặt là \(\frac{{12{a^2}}}{6} = 2{a^2}\).

Cạnh của khối lập phương là \(\sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \).

Thể tích của khối lập phương là: \(V = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^3} = \sqrt 8 {a^3}\). Chọn A.

Từ giả thiết \({u_2} = 3\) và \({u_4} = 7\) suy ra hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+d=3\\ u_1+3d=7\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=2\end{array}\right.$

Vậy \({u_{15}} = {u_1} + 14d = 29\). Chọn D.