b) Chứng minh rằng 0<un≤23n với mọi n.

b) Sử dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 0<un≤23n;∀n* n=1 ta có 0<u1=13<23 , suy ra (*) đúng với n=1 Giả sử (*) đúng với n=k tức là 0<k3k≤23k . Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k+1 Thật vậy,uk+1=k+13k+1>0 . Mặt khác uk+1≤23uk⇔uk+1≤23.23k=23k+1. Ta được điều phải chứung minh.

Câu hỏi:

19/08/2025 630

b) Chứng minh rằng $0 < u_{n} \leq {(\frac{2}{3})}^{n}$ với mọi n.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 87 câu Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

b) Sử dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh $0 < u_{n} \leq {(\frac{2}{3})}^{n}; \forall n (*)$

n=1 ta có $0 < u_{1} = \frac{1}{3} < \frac{2}{3}$ , suy ra (*) đúng với n=1

Giả sử (*) đúng với n=k tức là $0 < \frac{k}{3^{k}} \leq {(\frac{2}{3})}^{k}$ . Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k+1

Thật vậy, $u_{k + 1} = \frac{k + 1}{3^{k + 1}} > 0$ . Mặt khác $u_{k + 1} \leq \frac{2}{3} u_{k} \Leftrightarrow u_{k + 1} \leq \frac{2}{3} . {(\frac{2}{3})}^{k} = {(\frac{2}{3})}^{k + 1} .$

Ta được điều phải chứung minh.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Lớp 11 Toán

152 người thi tuần này

Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

20 câu 2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Vật lý

197 người thi tuần này

Trắc nghiệm Mô tả sóng lớp 11 (có đáp án)

10 câu 6.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Hóa học

348 người thi tuần này

Trắc nghiệm Khái niệm về cân bằng hoá học lớp 11 (có đáp án - phần 1)

15 câu 10.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Tiếng Anh

142 người thi tuần này

Đề cương ôn tập giữa kì 1 Tiếng Anh 11 Global Success có đáp án

50 câu 1.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Sinh học

154 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Sinh học 11 Kết nối tri thức Bài 8 có đáp án

15 câu 3.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Lịch sử

1,460 người thi tuần này

25 câu Trắc nghiệm Lịch Sử 11 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

25 câu 20.4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Tin học

849 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Tin học 11 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

15 câu 9.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 11 Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

166 người thi tuần này

16 câu Trắc nghiệm Kinh tế pháp luật 11 Kết nối tri thức Bài 2 có đáp án

16 câu 3.9 K lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính giới hạn sau: $\lim \frac{{(- 1)}^{n} . \cos n}{n^{2} + 1} .$

Xem đáp án

Lời giải

Nếu ta nhập $\frac{{(- 1)}^{n} . \cos n}{n^{2} + 1}$ , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR.

Hướng dẫn giải

Vận dụng định lí 1 nếu $|u_{n}| \leq v_{n}$ với mọi n và $\lim v_{n} = 0$ thì $\lim u_{n} = 0.$

Ta có đánh giá sau: $|\frac{{(- 1)}^{n} . \cos n}{n^{2} + 1}| < |\frac{\cos n}{n^{2} + 1}| < \frac{1}{n^{2} + 1}$ , ta chỉ cần ghi $\frac{1}{n^{2} + 1}$ vào máy tính là sẽ tính được.

Cách bấm máy:

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Tính giới hạn sau: lim (-1)^n. cosn /n^2+1 (ảnh 1)

Sau đó bấm CALC.

Tính giới hạn sau: lim (-1)^n. cosn /n^2+1 (ảnh 2)

Nhập: $x = 9999999999$ , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Tính giới hạn sau: lim (-1)^n. cosn /n^2+1 (ảnh 3)

Kết quả: ${1.10}^{- 20}$ là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy $\lim \frac{{(- 1)}^{n} . \cos n}{n^{2} + 1} = 0.$

Câu 2

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n + 1}} - \frac{1}{5^{n - 1}} .$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $|u_{n}| = |\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n + 1}} - \frac{1}{5^{n + 1}}| \leq \frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{1}{5^{n + 1}} < \frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{1}{2^{n + 1}} = \frac{1}{2^{n}}, \forall n \in ℕ .$

Vì $\lim \frac{1}{2^{n}} = \lim {(\frac{1}{2})}^{n} = 0.$

Từ đó suy ra $\lim u_{n} = 0.$

Câu 3

Giới hạn $\lim \frac{n^{2} - n + 3}{n^{3} + 2 n}$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{- 1}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{n}{3^{n}} .$

a) Chứng minh rằng $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \leq \frac{2}{3}$ với mọi n.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Chứng minh rằng: $\lim \frac{1}{n + 1} = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giới hạn $\lim (2 + \frac{{(- 1)}^{n}}{n + 2})$ là

A. 2

B. $\frac{1}{2}$

C. 0

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Xét các câu sau:

(1) Ta có $\lim {(\frac{1}{3})}^{n} = 0;$

(2) Ta có $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ , với k là số nguyên tùy ý.

A. Cả hai câu đều đúng.

B. Cả hai câu đều sai.

C. Chỉ (1) đúng.

D. Chỉ (2) sai.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

b) Chứng minh rằng $0 < u_{n} \leq {(\frac{2}{3})}^{n}$ với mọi n.

Tính giới hạn sau: $\lim \frac{{(- 1)}^{n} . \cos n}{n^{2} + 1} .$

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n + 1}} - \frac{1}{5^{n - 1}} .$