Cho dãy số un được xác định un=m,m≥12nun+1=2nun−1,n∈ℕ*. Tham số m để dãy số un có giới hạn bằng 0 là A. m=1 B. m=2 C. m=3 D. m=4

Câu hỏi:

14/09/2022 864

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định $\{\begin{cases} u_{n} = m, (m \geq 1) \\ 2^{n} u_{n + 1} = |2^{n} u_{n} - 1|, n \in ℕ^{*} \end{cases} .$

Tham số m để dãy số $(u_{n})$ có giới hạn bằng 0 là

A. m=1

B. m=2

C. m=3

D. m=4

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 87 câu Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn đáp án C

Ta có $2^{n} u_{n + 1} = |2^{n} . u_{n} - 1| \Leftrightarrow u_{n + 1} = |u_{n} - \frac{1}{2^{n}}| .$

Chứng minh: $u_{n} \geq 2^{1 - n}$ (bằng quy nạp).

* Với n=1 ta có $u_{1} = m \geq 1 = 2^{0} .$

* Giả sử $u_{k} > 2^{1 - k}$ (với k>1)

* Cần chứng minh: $u_{k + 1} > 2^{- k} .$

Ta có $u_{k + 1} = |u_{k} - 2^{- k}| > |2^{1 - k} - 2^{- k}| = 2^{- k}$ . Suy ra điều phải chứng minh.

Từ đó suy ra $u_{n} - 2^{- n} > 0$ với mọi $n \Rightarrow u_{n + 1} = u_{n} - \frac{1}{2^{n}} .$

Ta có $u_{2} = u_{1} - \frac{1}{2}; u_{3} = u_{2} - \frac{1}{2^{2}}; u_{4} = u_{3} - \frac{1}{2^{3}}; ...; u_{n} = u_{n - 1} - \frac{1}{2^{n - 1}}$

$\Rightarrow u_{n} = u_{1} - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n - 1}}) .$

Công thức tổng quát $u_{n} = m - \frac{1}{2} . \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n - 1}}{\frac{1}{2}} = m - 1 + {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

$\Rightarrow \lim u_{n} = 0 \Leftrightarrow \lim (m - 1) + \lim {(\frac{1}{2})}^{n - 1} = 0$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính giới hạn sau: $\lim \frac{{(- 1)}^{n} . \cos n}{n^{2} + 1} .$

Xem đáp án

Lời giải

Nếu ta nhập $\frac{{(- 1)}^{n} . \cos n}{n^{2} + 1}$ , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR.

Hướng dẫn giải

Vận dụng định lí 1 nếu $|u_{n}| \leq v_{n}$ với mọi n và $\lim v_{n} = 0$ thì $\lim u_{n} = 0.$

Ta có đánh giá sau: $|\frac{{(- 1)}^{n} . \cos n}{n^{2} + 1}| < |\frac{\cos n}{n^{2} + 1}| < \frac{1}{n^{2} + 1}$ , ta chỉ cần ghi $\frac{1}{n^{2} + 1}$ vào máy tính là sẽ tính được.

Cách bấm máy:

Nhập vào máy tính biểu thức sau:

Tính giới hạn sau: lim (-1)^n. cosn /n^2+1 (ảnh 1)

Sau đó bấm CALC.

Tính giới hạn sau: lim (-1)^n. cosn /n^2+1 (ảnh 2)

Nhập: $x = 9999999999$ , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:

Tính giới hạn sau: lim (-1)^n. cosn /n^2+1 (ảnh 3)

Kết quả: ${1.10}^{- 20}$ là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy $\lim \frac{{(- 1)}^{n} . \cos n}{n^{2} + 1} = 0.$

Câu 2

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n + 1}} - \frac{1}{5^{n - 1}} .$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $|u_{n}| = |\frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n + 1}} - \frac{1}{5^{n + 1}}| \leq \frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{1}{5^{n + 1}} < \frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{1}{2^{n + 1}} = \frac{1}{2^{n}}, \forall n \in ℕ .$

Vì $\lim \frac{1}{2^{n}} = \lim {(\frac{1}{2})}^{n} = 0.$

Từ đó suy ra $\lim u_{n} = 0.$

Câu 3

Giới hạn $\lim \frac{n^{2} - n + 3}{n^{3} + 2 n}$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{- 1}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Chứng minh rằng: $\lim \frac{1}{n + 1} = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{n}{3^{n}} .$

a) Chứng minh rằng $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \leq \frac{2}{3}$ với mọi n.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giới hạn $\lim (2 + \frac{{(- 1)}^{n}}{n + 2})$ là

A. 2

B. $\frac{1}{2}$

C. 0

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Xét các câu sau:

(1) Ta có $\lim {(\frac{1}{3})}^{n} = 0;$

(2) Ta có $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ , với k là số nguyên tùy ý.

A. Cả hai câu đều đúng.

B. Cả hai câu đều sai.

C. Chỉ (1) đúng.

D. Chỉ (2) sai.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho dãy số un được xác định un=m,m≥12nun+1=2nun−1,n∈ℕ*. Tham số m để dãy số un có giới hạn bằng 0 là

Tính giới hạn sau: lim−1n.cosnn2+1.

Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0. un=−1n2n+1−15n−1.

Giới hạn limn2−n+3n3+2n bằng

Chứng minh rằng: lim1n+1=0.

Cho dãy số un với un=n3n. a) Chứng minh rằng un+1un≤23 với mọi n.

Giới hạn lim2+−1nn+2 là

Xét các câu sau: (1) Ta có lim13n=0; (2) Ta có lim1nk=0 , với k là số nguyên tùy ý.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định $\{\begin{cases} u_{n} = m, (m \geq 1) \\ 2^{n} u_{n + 1} = |2^{n} u_{n} - 1|, n \in ℕ^{*} \end{cases} .$

Tham số m để dãy số $(u_{n})$ có giới hạn bằng 0 là

Tính giới hạn sau: $\lim \frac{{(- 1)}^{n} . \cos n}{n^{2} + 1} .$

Chứng minh các dãy số $(u_{n})$ sau đây có giới hạn là 0.

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n + 1}} - \frac{1}{5^{n - 1}} .$

Giới hạn $\lim \frac{n^{2} - n + 3}{n^{3} + 2 n}$ bằng

Chứng minh rằng: $\lim \frac{1}{n + 1} = 0.$

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{n}{3^{n}} .$

a) Chứng minh rằng $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \leq \frac{2}{3}$ với mọi n.

Giới hạn $\lim (2 + \frac{{(- 1)}^{n}}{n + 2})$ là

Xét các câu sau:

(1) Ta có $\lim {(\frac{1}{3})}^{n} = 0;$

(2) Ta có $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ , với k là số nguyên tùy ý.