Giá trị của m để phương trình m(sinx+cosx)+sin2x=0 có nghiệm là

Đáp án B

Phương trình ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+1=\frac{3}{2}\sin 2x$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+1=\frac{3}{2}\sin 2x\iff \left(\sin x+\cos x\right)\left({\sin }^{2}x+\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\right)+1=3\sin x\cos x$

$\iff \left(\sin x+\cos x\right)\left(1+\sin x\cos x\right)+1=3\sin x\cos x.\left(1\right)$

Đặt $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$

Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\Rightarrow \left(1\right)\iff t\left(1+\frac{t^2-1}{2}\right)+1=3\frac{t^2-1}{2}\iff t^3-3t^2+t+5=0\iff t=-1.$

Với $t=-\mathrm{1,}$  ta có $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án D

Phương trình $\left(1+\sin x\right)\left(1+\cos x\right)=2$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ.$

Ta có $\left(1+\sin x\right)\left(1+\cos x\right)=2\iff \cos x+\sin x+\sin x\cos x=1.$

Đặt $t=\sin x+\cos x,\left(\left|t\right|\le \sqrt{2}\right).$

Ta có $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\left(1\right)\Rightarrow t^2+2t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-3\end{array}\right..$

Do  $\left|t\right|\le \sqrt{2}$ nên $t=1.$

Với $t=\mathrm{1,}$  ta có $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$