Cho tổng Sn=1.4+2.7+3.10+...+n3n+1 với n∈ℕ* . Biết Sk=294 và ∑i=1ni=1+2+3+...+n=nn+12; ∑i=1ni2=1+22+32+...+n2=nn+12n+16 Tính giá trị của k.

Ta có Sn=∑i=1ni3i+1=∑i=1n3i2+1=3∑i=1ni2+∑i=1ni =3nn+12n+16+nn+12=nn+12⇒Sk=kk+12=294⇔k3+2k2+k=294⇔k−6k2+8k+49=0⇔k=6.

Câu hỏi:

19/08/2025 1,748

Cho tổng $S_{n} = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n (3 n + 1)$ với $n \in ℕ^{*}$ . Biết $S_{k} = 294$ và $\sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2}; \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = 1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Tính giá trị của k.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 91 Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Dãy số có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có

$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} i (3 i + 1) = \sum_{i = 1}^{n} (3 i^{2} + 1) = 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} + \sum_{i = 1}^{n} i$

$\begin{array}{l} = \frac{3 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{n (n + 1)}{2} = n {(n + 1)}^{2} \\ \Rightarrow S_{k} = k {(k + 1)}^{2} = 294 \Leftrightarrow k^{3} + 2 k^{2} + k = 294 \\ \Leftrightarrow (k - 6) (k^{2} + 8 k + 49) = 0 \Leftrightarrow k = 6. \end{array}$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tổng $S = {4.5}^{100} . (\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} + ... + \frac{1}{5^{100}}) + 1$ có kết quả bằng

A. $5^{100} - 1.$

B. $5^{100} .$

C. $5^{101} - 1.$

D. $5^{101} .$

Lời giải

Chọn B

Đặt $M = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} + ... + \frac{1}{5^{100}}$

Ta có

$5 M = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + ... + \frac{1}{5^{99}} \Rightarrow 5 M - M = (1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + ... + \frac{1}{5^{99}}) - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} ... + \frac{1}{5^{100}}) = 1 - \frac{1}{5^{100}} \Rightarrow 4 M = 1 - \frac{1}{5^{100}} \Rightarrow M = \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} \Rightarrow S = {4.5}^{100} . \frac{5^{100} - 1}{{4.5}^{100}} + 1 = 5^{100}$

Câu 2

Cho tổng S(n)=2+4+6+...+2n. Khi đó S₃₀ bằng

A. 900

B. 930

C. 901

D. 830

Lời giải

Chọn B

Ta có $S_{30} = 2 + 4 + 6 + ... + 60$

$\Rightarrow 2 S_{30} = (2 + 60) + (4 + 58) + (6 + 56) + ... + (60 + 2)$ (có 30 ngoặc đơn)

$\Rightarrow S_{30} = \frac{(2 + 60) .30}{2} = 930$

Câu 3

Cho tổng $S_{n} = \frac{3}{{(1.2)}^{2}} + \frac{5}{{(2.3)}^{2}} + \frac{7}{{(3.4)}^{2}} + ... + \frac{2 n + 1}{{[n (n + 1)]}^{2}} .$ Giá trị S₁₀ là

A. 1

B. $\frac{121}{120} .$

C. $\frac{119}{121} .$

D. $\frac{120}{121} .$

Lời giải