Cho hàm số y=sinx−xcosxcosx+xsinx Chứng minh rằng: y'sinx−xcosx2−x2y2=0 .

Ta có: y'=sinx−xcosx'cosx+xsinx−sinx−xcosxcosx+xsinx'cosx+xsinx2 Ta có: +) sinx−xcosx'=cosx−x'cosx−x.cosx'=xsinx ; +) cosx+xsinx'=−sinx+x'sinx+x.sinx'=xcosx Do đó: y'=xsinx.cosx+xsinx−sinx−xcosxxcosxcosx+xsinx2=x2cosx+xsinx2 Ta có: VT=y'sinx−xcosx2−x2y2 =x2cosx+xsinx2.sinx−xcosx2−x2.sinx−xcosxcosx+xsinx2=0=VP.

Câu hỏi:

19/08/2025 1,411

Cho hàm số $y = \frac{\sin x - x \cos x}{\cos x + x \sin x}$

Chứng minh rằng: $y^{'} {(\sin x - x \cos x)}^{2} - x^{2} y^{2} = 0$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 163 câu Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $y^{'} = \frac{{(\sin x - x \cos x)}^{'} (\cos x + x \sin x) - (\sin x - x \cos x) {(\cos x + x \sin x)}^{'}}{{(\cos x + x \sin x)}^{2}}$

Ta có:

+) ${(\sin x - x \cos x)}^{'} = \cos x - x^{'} \cos x - x . {(\cos x)}^{'} = x \sin x$ ;

+) ${(\cos x + x \sin x)}^{'} = - \sin x + x^{'} \sin x + x . {(\sin x)}^{'} = x \cos x$

Do đó: $y^{'} = \frac{x \sin x . (\cos x + x \sin x) - (\sin x - x \cos x) x \cos x}{{(\cos x + x \sin x)}^{2}} = \frac{x^{2}}{{(\cos x + x \sin x)}^{2}}$

Ta có: $V T = y^{'} {(\sin x - x \cos x)}^{2} - x^{2} y^{2}$

$= \frac{x^{2}}{{(\cos x + x \sin x)}^{2}} . {(\sin x - x \cos x)}^{2} - x^{2} . {(\frac{\sin x - x \cos x}{\cos x + x \sin x})}^{2} = 0 = V P .$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Đạo hàm của hàm số $y = \sin^{4} x + \cos^{4} x$ là

\sin 4 x .

2 - \sin 4 x .

\cos 4 x - \sin 4 x .

- \sin 4 x .

Lời giải

Đáp án D

Ta có $y = \sin^{4} x + \cos^{4} x = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x$

Do đó $y^{'} = {(\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x)}^{'} = \frac{1}{4} {(\cos 4 x)}^{'} = \frac{1}{4} (- \sin 4 x) . {(4 x)}^{'} = - \sin 4 x$ .

Câu 2

Hàm số $y = \sqrt{\cot 2 x}$ có đạo hàm là

y^{'} = \frac{1 + \cot^{2} 2 x}{\sqrt{\cot 2 x}}

y^{'} = \frac{- (1 + \cot^{2} 2 x)}{\sqrt{\cot 2 x}}

y^{'} = \frac{1 + \tan^{2} 2 x}{\sqrt{\cot 2 x}}

y^{'} = \frac{- (1 + \tan^{2} 2 x)}{\sqrt{\cot 2 x}}

Lời giải

Đáp án B

Ta có $y^{'} = \frac{{(\cot 2 x)}^{'}}{2 \sqrt{\cot 2 x}} = \frac{- 2 (1 + \cot^{2} 2 x)}{2 \sqrt{\cot 2 x}} = \frac{- (1 + \cot^{2} 2 x)}{\sqrt{\cot 2 x}}$

Câu 3

Biết hàm số y=5sin2x-4cos5x có đạo hàm là y'=asin5x+bcos2x . Giá trị của a-b bằng

A. – 30.

B. 10.

C. – 1.

D. – 9.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

y^{'} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} .

y^{'} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} .

y^{'} = \frac{2}{{(\sin x + \cos x)}^{2}} .

y^{'} = \frac{\sin x}{{(\sin x + \cos x)}^{2}} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tính đạo hàm $y = \sqrt{\cos 6 x}$ .

y^{'} = \frac{3 \sin 6 x}{2 \sqrt{\cos 6 x}}

y^{'} = \frac{- 3 \sin 6 x}{\sqrt{\cos 6 x}}

y^{'} = \frac{3 \sin 6 x}{\sqrt{\cos 6 x}}

y^{'} = \frac{- 3 \sin 6 x}{\sqrt{\cos 6 x}}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin (x - \frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{6} - 2 x)$

tại $x = \frac{π}{3} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Đạo hàm của hàm số $y = x^{2} \tan x + \sqrt{x}$ là

y^{'} = 2 x \tan x + \frac{1}{2 \sqrt{x}} .

\frac{2}{3} .

y^{'} = 2 x \tan x + \frac{x^{2}}{\cos^{2} x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} .

y^{'} = 2 x \tan x + \frac{x^{2}}{\cos^{2} x} + \frac{1}{\sqrt{x}} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử