Khi quay hình phẳng được đánh dấu ở hình vẽ bên xoay quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay có thể tích được tính theo công thức

 

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}$. Biết $\mathrm{F}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k\pi }\right)=\mathrm{k}$ với mọi $\mathrm{k}\in \mathrm{Z}$. Tính .

Cho vật thể (T) giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0; x=2. Cắt vật thể (T) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại $\mathrm{x}\left(0\le \mathrm{x}\le 2\right)$ ta thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\left(\mathrm{x}+1\right)e^x$. Thể tích vật thể (T) bằng

Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}, \mathrm{y}=0$ và $\mathrm{x}=4$ quanh trục Ox. Đường thẳng x = a (0< a< 4 cắt đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}}$ tại M (hình vẽ). Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng V=2V1. Khi đó

Cho đồ thị $\left(\mathrm{C}\right): \mathrm{y}={\mathrm{ax}}^3+{\mathrm{bx}}^2+\mathrm{cx}+\mathrm{d}$ và Parabol $\left(\mathrm{P}\right): \mathrm{y}={\mathrm{mx}}^2+\mathrm{nx}+\mathrm{p}$ có đồ thị như hình vẽ (đồ thị (C) là đường cong đậm hơn). Biết phần hình phẳng được giới hạn bởi (C) và (P) (phần tô đậm) có diện tích bằng 1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay phần hình phẳng đó quanh trục hoành bằng

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp n trên R thỏa mãn $\mathrm{f}\left(1-\mathrm{x}\right)+{\mathrm{x}}^2\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}$ với mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{R}$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\mathrm{xf}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Gọi D là miền được giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=-3\mathrm{x}+10$, y =1, $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$ và D nằm ngoài parabol $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$. Khi cho D quay xung quanh trục Ox, ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích là:

Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x= a, x= b (a < b) có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $\mathrm{x} \left(\mathrm{a}\le \mathrm{x}\le \mathrm{b}\right)$ là S(x).