Câu hỏi:

22/09/2022 536

Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm thuộc $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm (khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất $P = 5 x_{M}^{2} + x_{N}^{2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .

Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm thuộc $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ , suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là $y = (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) + x_{M}^{3} - 3 x_{M}^{2} + 2$ .

Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm $N (x_{N}; y_{N})$ (khác M) nên $x_{M}, x_{N}$ là nghiệm của phương trình:

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 = (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) + x_{M}^{3} - 3 x_{M}^{2} + 2$ .

$\Leftrightarrow (x^{3} - x_{M}^{3}) - 3 (x^{2} - x_{M}^{2}) - (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) = 0$

$\Leftrightarrow {(x - x_{M})}^{2} (x + 2 x_{M} - 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{M} \\ x = - 2 x_{M} + 3 \end{array}$

$\Rightarrow x_{N} = - 2 x_{M} + 3$

Khi đó $P = 5 x_{M}^{2} + x_{N}^{2} = 5 x_{M}^{2} + {(- 2 x_{M} + 3)}^{2} = 9 x_{M}^{2} - 12 x_{M} + 9 \geq 9 {(x_{M} - \frac{2}{3})}^{2} + 5$

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi $x_{M} = \frac{2}{3} .$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C) : y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ song song với đường thẳng $(Δ) : 3 x - y + 2 = 0$ .

Xem đáp án » 22/09/2022 26,972

Câu 2:

Tiếp tuyến của đồ thị $(C) : y = x^{3} + 3 x^{2} + 5$ vuông góc với đường d:x+9y=0 có phương trình là

A. .

y = 9 x; y = 9 x + 32

B.

y = 9 x - 22; y = 9 x + 18

C.

y = 9 x; y = 9 x - 32

D.

y = 9 x + 22; y = 9 x - 18

Xem đáp án » 23/09/2022 7,536

Câu 3:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 2}{x - 1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

Xem đáp án » 22/09/2022 2,924

Câu 4:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng $d : y = (m^{2} - 4) x + 2 m - 1$ .

Xem đáp án » 22/09/2022 2,600

Câu 5:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ có đồ thị (C). Biết có hai điểm phân biệt A, B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song nhau và $A B = 4 \sqrt{2}$ . Hỏi đường thẳng AB đi qua điểm nào dưới đây?

A.

M (- 1; - 2) .

B.

N (4; 2) .

C.

P (- 1; 2) .

D.

Q (1; - 2) .

Xem đáp án » 24/09/2022 2,547

Câu 6:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y=3x-1 có tọa độ tiếp tuyến là

A.

A (0; - 1)

và

B (- 2; 5)

.

B.

A (0; - 1)

C.

B (- 2; 5)

.

D.

A (- 1; 0)

và

B (5; - 2)

.

Xem đáp án » 23/09/2022 2,204

Câu 7:

Tìm m thuộc R để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số $(C_{m}) : y = x^{3} - 2 x^{2} + (m - 1) x + 2 m$ vuông góc với đường thẳng y=-x

A. .

m = \frac{10}{3}

B.

m = \frac{1}{3}

.

C.

m = \frac{10}{13}

.

D.

m = 1

.

Xem đáp án » 24/09/2022 2,010

Xem thêm các câu hỏi khác »

Gọi MxM;yM là một điểm thuộc C:y=x3−3x2+2 , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm (khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất P=5xM2+xN2.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C:y=2x+1x+2 song song với đường thẳng Δ:3x−y+2=0.

Tiếp tuyến của đồ thị C:y=x3+3x2+5 vuông góc với đường d:x+9y=0 có phương trình là

Cho hàm số y=2x+2x−1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

Cho hàm số y=x3−3x2 có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng d:y=m2−4x+2m−1.

Cho hàm số y=x3−3x2+1 có đồ thị (C). Biết có hai điểm phân biệt A, B thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song nhau và AB=42. Hỏi đường thẳng AB đi qua điểm nào dưới đây?

Cho hàm số y=2x−1x+1 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y=3x-1 có tọa độ tiếp tuyến là

Tìm m thuộc R để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm sốCm:y=x3−2x2+m−1x+2m vuông góc với đường thẳng y=-x

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!