Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y=3x+1x−2 .

Ta có: y'=−7x−22,y''=7.2x−23,y'''=−7.2.3x−24 . Bằng quy nạp ta chứng minh yn=−1n.7.n!x−2n+1 . 2 Với n=1 ta thấy 2 đúng. Giả sử 2 đúng với n=k, tức là yk=−1k.7.k!x−2k+1 . Ta có: yk+1=−1k.7.kx−2k+1'=−−1k.7.k!.k+1x−2k+2=−1k+1.7.k+1!x−2k+2. Do đó 2 đúng với mọi số tự nhiên n. Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số y=3x+1x−2 là yn=−1n.7.n!x−2n+1 .

Câu hỏi:

25/09/2022 620

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Vi phân- đạo hàm cấp cao có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $y^{'} = \frac{- 7}{{(x - 2)}^{2}}, {y^{'}}^{'} = \frac{7.2}{{(x - 2)}^{3}}, {y^{'}}^{'}^{'} = \frac{- 7.2.3}{{(x - 2)}^{4}}$ .

Bằng quy nạp ta chứng minh $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .7. n!}{{(x - 2)}^{n + 1}}$ . $(2)$

Với $n = 1$ ta thấy $(2)$ đúng.

Giả sử $(2)$ đúng với $n = k$ , tức là $y^{(k)} = \frac{{(- 1)}^{k} .7. k!}{{(x - 2)}^{k + 1}}$ .

Ta có: $y^{(k + 1)} = {(\frac{{(- 1)}^{k} .7. k}{{(x - 2)}^{k + 1}})}^{'} = - \frac{{(- 1)}^{k} .7. k! . (k + 1)}{{(x - 2)}^{k + 2}} = \frac{{(- 1)}^{k + 1} .7. (k + 1)!}{{(x - 2)}^{k + 2}}$ .

Do đó $(2)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$ .

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số

$y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ là $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .7. n!}{{(x - 2)}^{n + 1}}$ .

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x + 2}$ là

A.

{y^{'}}^{'} = \frac{10}{{(x + 2)}^{2}}

.

B.

{y^{'}}^{'} = - \frac{5}{{(x + 2)}^{4}}

.

C.

{y^{'}}^{'} = - \frac{5}{{(x + 2)}^{3}}

.

D.

{y^{'}}^{'} = - \frac{10}{{(x + 2)}^{3}}

.

Xem đáp án » 25/09/2022 4,260

Câu 2:

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ . Chứng minh $y^{3} . {y^{'}}^{'} + 1 = 0$ .

Xem đáp án » 25/09/2022 3,432

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = {(3 x^{2} - 2 x - 1)}^{9}$ . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

A.

f^{(6)} (0) = - 60480

B.

f^{(6)} (0) = - 34560

C.

f^{(6)} (0) = 60480

D.

f^{(6)} (0) = 34560

Xem đáp án » 26/09/2022 1,815

Câu 4:

Cho hàm số $y = \frac{\sin^{3} x + \cos^{3} x}{1 - \sin x . \cos x}$ . Chứng minh ${y^{'}}^{'} + y = 0$ .

Xem đáp án » 25/09/2022 1,020

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x)=sinx . Khẳng định nào sau đây sai?

A.

y^{'} = \sin (x + \frac{π}{2})

.

B.

{y^{'}}^{'} = \sin (x + π)

.

C.

{y^{'}}^{'}^{'} = \sin (x + \frac{3 π}{2})

.

D.

y^{(4)} = \sin (2 π - x)

Xem đáp án » 25/09/2022 912

Câu 6:

Cho hàm số y=sin3x.cosx-sin2x . Giá trị của $y^{(10)} (\frac{π}{3})$ gần nhất với số nào dưới đây?

A. 454492.

B. 2454493.

C. 454491.

D. 454490.

Xem đáp án » 26/09/2022 825

Câu 7:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{2 x - 1}$ .Giá trị của ${f^{'}}^{'}^{'} (1)$ bằng

A. 3.

B. -3.

C.

\frac{3}{2}

.

D. 0.

Xem đáp án » 25/09/2022 636

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y=3x+1x−2 .

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=3x+1x+2 là

Cho hàm số y=2x−x2. Chứng minh y3.y''+1=0.

Cho hàm số fx=3x2−2x−19 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

Cho hàm số y=sin3x+cos3x1−sinx.cosx . Chứng minh y''+y=0.

Cho hàm số y=f(x)=sinx . Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hàm số y=sin3x.cosx-sin2x . Giá trị của y10π3 gần nhất với số nào dưới đây?

Cho hàm số fx=2x−1.Giá trị của f'''1 bằng

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!