Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $∆$SAB là tam giác đều và (SAB) vuông góc với (ABCD). Gọi $\phi$ là góc tạo bởi (SAC) và (SCD). Giá trị của cos$\phi$ bằng

Ta có $\left(SAC\right)\cap \left(SBC\right)=SC.$

Gọi F là trung điểm AC thì $BF\perp \left(SAC\right).$

Dựng $BK\perp SC$  tại $K\Rightarrow SC\perp \left(BKF\right)\Rightarrow \widehat{\left(\left(SAC\right),\left(SBC\right)\right)}=\widehat{\left(KB,KF\right)}=\widehat{BKF}.$

Dễ thấy $\Delta CFK\backsim \Delta CSA\Rightarrow \frac{FK}{FC}=\frac{SA}{SC}\Rightarrow FK=\frac{FC.SA}{SC}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}.a}{a\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{6}}.$

$∆$BFK vuông tại F có $\tan \widehat{BKF}=\frac{FB}{FK}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{\sqrt{6}}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{BKF}={60}^o.$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60°.

Gọi H, K là trung điểm của AB, CD.

Do $\left(SAB\right)\perp \left(ABCD\right)$  nên SH là đường cao của hình chóp.

Ta có  $HK\perp AB,HK\perp SH\Rightarrow HK\perp \left(SAB\right)\left(1\right)$

Dựng $HI\perp SK\Rightarrow HI\perp \left(SCD\right)\left(2\right).$

Từ (1) và (2) ta có góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là $\left(HK,HI\right)=\widehat{IHK}.$

Ta có $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2};HK=a.$

$\frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{K}^2}\Rightarrow HI=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}.a}{\sqrt{\frac{3}{4}{a}^2+a^2}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$

Vây $\cos \widehat{IHK}=\frac{HI}{HK}=\frac{\sqrt{21}}{7}.$