Gọi \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\] trên khoảng \[\left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)\] thỏa mãn \[F\left( 2 \right) = 0\]. Khi đó phương trình \[F\left( x \right) = x\] có nghiệm là:

Hướng dẫn giải

Ta có: \[F\left( x \right) = \int {\frac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx} = - \int {\frac{1}{{2\sqrt {8 - {x^2}} }}d\left( {8 - {x^2}} \right) = - \sqrt {8 - {x^2}} + C} \]

Mặt khác \[F\left( 2 \right) = 0 \Rightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + C = 0 \Leftrightarrow C = 2\]

Vậy \[F\left( x \right) = - \sqrt {8 - {x^2}} + 2\].

Xét phương trình \[\begin{array}{l}F\left( x \right) = x \Leftrightarrow - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \Leftrightarrow \sqrt {8 - {x^2}} = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\8 - {x^2} = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\2{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 \\x = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\]

Chọn D.