10 Bài tập Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Suy ra A thuộc đường trung trực của BC (1)

Do ∆DBC cân tại D nên DB = DC.

Suy ra D thuộc đường trung trực của BC (2)

Do ∆EBC cân tại E nên EB = EC.

Suy ra E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra ba điểm A, D, E cùng nằm trên đường trung trực của BC.

Mà ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC và phân biệt nên A, D, E phân biệt.

Do đó ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC, do đó A nằm trên đường trung trực của BC (1)

Xét ∆ABD (vuông tại B) và ∆ACD (vuông tại C) có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A);

AD là cạnh chung

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng)

Từ đó ta có D nằm trên đường trung trực của BC (2)

Mặt khác, M là trung điểm của BC nên M cũng nằm trên đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có ba điểm A, M, D nằm trên đường trung trực của BC

Suy ra ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Vậy cả hai khẳng định (I) và (II) đều đúng. Ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì BD = BA do đó tam giác ABD cân tại B.

Nên BM là đường phân giác cũng là đường trung trực của cạnh AD trong tam giác.

Suy ra BM ⊥ AD (1)

Kéo dài AK cắt DH tại J.

Khi đó ∆ADJ có AH ⊥ DJ, DK ⊥ AJ và AH cắt DK tại M nên M là trực tâm của ∆ADJ.

Suy ra JM ⊥ AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, M, J thẳng hàng hay AK, BM, DH là ba đường đồng quy.

Do BM là đường trung trực của AD nên MA = MD.

Xét ∆BAM và ∆BDM có:

BM là cạnh chung; BA = BD (giả thiết); MA = MD (chứng minh trên)

Do đó ∆BAM = ∆BDM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{BDM}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{BAM}=90°$ nên $\widehat{BDM}=90°$ hay MD ⊥ BC, tức DK ⊥ BC.

Lại có DK ⊥ AK tại K nên AK // BC.

Vậy cả (I), (II) và (III) đều đúng. Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆AOM và ∆BOM có:

$\widehat{OAM}=\widehat{OBM}\left(=90°\right);$

OM là cạnh chung;

OA = OB (giả thiết)

Do đó ∆AOM = ∆BOM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng).

Nên M nằm trên đường trung trực của AB.

Lại có OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.

Do đó OM là đường trung trực của AB, nên OM ⊥ AB.

Xét ∆AOB có ba đường cao OM, AC, BD nên ba đường này đồng quy tại một điểm.

Vậy cả A và B đều là khẳng định đúng.

Khi đó phương án D là sai. Ta chọn phương án D.