Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left(m;n\right)$  sao cho $m+n\le 10$  và ứng với mỗi cặp $\left(m;n\right)$  tồn tại đúng 3 số thực $a\in \left(-1;1\right)$  thỏa mãn $2a^m=n\ln \left(a+\sqrt{a^2+1}\right)$ ?

Chọn D

Ta có $2a^m=n\ln \left(a+\sqrt{a^2+1}\right)\iff \frac{2a^m}{n}=\ln \left(a+\sqrt{a^2+1}\right)$ .

Xét hai hàm số $f\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$  và $g\left(x\right)=\frac{2}{n}{x}^m$  trên $\left(-1;1\right)$ .

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$  nên $f\left(x\right)$  luôn đồng biến và  

$f\left(-x\right)=\ln \left(-x+\sqrt{x^2+1}\right)=\ln \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\right)=-\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=-f\left(x\right)$nên $f\left(x\right)$  là hàm số lẻ.

+ Nếu m chẵn thì $g\left(x\right)$  là hàm số chẵn và có bảng biến thiên dạng

Suy ra phương trình có nhiều nhất 2 nghiệm, do đó m lẻ.

+ Nếu m lẻ thì hàm số $g\left(x\right)$  là hàm số lẻ và luôn đồng biến.

Ta thấy phương trình luôn có nghiệm $x=0$ . Dựa vào tính chất đối xứng của đồ thị hàm số lẻ, suy ra phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên $\left(-1;1\right)$  khi có 1 nghiệm trên (0,1), hay $f\left(1\right)>g\left(1\right)\iff \ln \left(1+\sqrt{2}\right)<\frac{2}{n}\iff n<\frac{2}{\ln \left(1+\sqrt{2}\right)}\approx 2,26\Rightarrow n\in \left\{1;2\right\}$ .

Đối chiếu điều kiện, với $n=1$  suy ra , có $m\in \left\{1;3;5;7;9\right\}$  cặp số thỏa mãn

Với  n=2 thì $m\in \left\{1;3;5;7\right\}$  có 4   cặp số thỏa mãn.

Vậy có 9 cặp số thỏa mãn bài toán.