Xét các số thực x và y thỏa mãn $2^{x^2+y^2+1}\le \left(x^2+y^2-2x+2\right)4^x$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{4y}{2x+y+1}$  gần nhất với số nào dưới đây?

Lời giải

Chọn A

Ta có: $2^{x^2+y^2+1}\le \left(x^2+y^2-2x+2\right)4^x\iff 2^{x^2-2x+1+y^2}\le \left(x^2-2x+1\right)+y^2+1$ .

Đặt $t=x^2-2x+1+y^2\Rightarrow t\ge 0$ . Khi đó ta có $2^t\le t+1$ , $\forall t\ge 0$ .

Đặt $f\left(t\right)=2^t-t-1,\forall t\ge 0$ , ta có: $f^{\text{'}}\left(t\right)=2^t\ln 2-1$ , cho $f^{\text{'}}\left(t\right)=0$ .

Ta nhận thấy phương trình $f^{\text{'}}\left(t\right)=0$  có một nghiệm nên phương trình $f\left(t\right)=0$  có tối đa hai nghiệm.

Mặt khác ta có $f\left(0\right)=f\left(1\right)=0$. Suy ra phương trình   $f\left(t\right)=0$ có hai nghiệm $t=1$  và $t=0$ .

Khi đó ta có bảng xét dấu của hàm số  như sau:

Khi đó $f\left(t\right)\le 0\iff t\in \left[0;1\right]$ . Suy ra $x^2-2x+1+y^2\le 1\iff {\left(x-1\right)}^2+y^2\le 1$ .

Khi đó tập hợp các điểm $M\left(x;y\right)$  là một hình tròn $\left(S\right)$  tâm $I\left(1;0\right)$ , bán kính $R=1$ .

Ta có: $P=\frac{4y}{2x+y+1}\iff 2Px+\left(P-4\right)y+P=0$ .

Khi đó ta cũng có tập hợp các điểm $M\left(x;y\right)$  là một đường thẳng .

Để $\Delta$  và  có điểm chung, ta suy ra $d\left(I,\Delta \right)\le 1$ .

 $\iff \frac{\left|2P+P\right|}{\sqrt{{\left(2P\right)}^2+{\left(P-4\right)}^2}}\le 1\iff 3\left|P\right|\le \sqrt{5P^2-8P+16}$

$\iff 4P^2+8P-16\le 0\iff -1-\sqrt{5}\le P\le -1+\sqrt{5}$.

Ta suy ra $P_{\max }=-1+\sqrt{5}$ . Dấu $"="$  xảy ra khi  $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ y=-\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.$