Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m,n) sao cho m+n≤12 và ứng với mỗi cặp (m,n) tồn tại đúng 3 số thực a∈(−1,1) thỏa mãn 2am=nln(a+a2+1) ? A. 12 B. 10 C. 11 D. 9

Chọn D Ta có 2am=nln(a+a2+1)⇔2nam=ln(a+a2+1) (*) . Xét hàm f(a)=ln(a+a2+1) trên (−1,1) (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến trên R), có BBT: Xét hàm g(a)=2n.am trên (−1,1) . Với m chẵn, g(a) là hàm chẵn và g(a)≥0,∀a∈R , do đó (*) không thể có 3 nghiệm. Với m lẻ, g(a) là hàm lẻ, đồng biến trên và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm a=0 là đường thẳng y=0. Dễ thấy (*) có nghiệm a=0∈(−1;1) . Để (*) có đúng 3 nghiệm tức là còn có 2 nghiệm nữa là ±a0 với 0<a0<1 . Muốn vậy, thì g(1)=2n.1m=2n>f(1)=ln(1+2)⇔n<2ln(1+2)≈2,26⇒n=1;n=2 Cụ thể: + m∈3;5;7;9 thì n∈1;2 : Có 8 cặp (m,n) + m=11 thì : n∈1 Có cặp (m,n) + m=1 : Đồ thị hàm số g(a) là đường thẳng (g(a)=a;g(a)=2a) không thể cắt đồ thị hàm số f(a) tại giao điểm a0≠0 được vì tiếp tuyến của hàm số f(a) tại điểm có hoành độ a=0 là đường thẳng y=a . Vậy có cả thảy 9 cặp y=a

Câu hỏi:

06/12/2022 2,030

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(m, n)$ sao cho $m + n \leq 12$ và ứng với mỗi cặp $(m, n)$ tồn tại đúng 3 số thực $a \in (- 1, 1)$ thỏa mãn $2 a^{m} = n \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1})$ ?

A. 12

B. 10

C. 11

D. 9

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 46 câu Trắc nghiệm Toán 12 Mũ và lôgarit có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Ta có $2 a^{m} = n \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1}) \Leftrightarrow \frac{2}{n} a^{m} = \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1}) (*)$ .

Xét hàm $f (a) = \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1})$ trên $(- 1, 1)$ (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến trên R), có BBT:

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m,n) sao cho m+n<=12 và ứng với mỗi cặp (m,n) tồn tại đúng 3 số thực 3 thỏa mãn a thuộc (-1,1) ? (ảnh 1)

Xét hàm $g (a) = \frac{2}{n} . a^{m}$ trên $(- 1, 1)$ .

Với m chẵn, $g (a)$ là hàm chẵn và $g (a) \geq 0, \forall a \in R$ , do đó $(*)$ không thể có 3 nghiệm.

Với m lẻ, $g (a)$ là hàm lẻ, đồng biến trên và tiếp tuyến của đồ thị tại điểm a=0 là đường thẳng y=0.

Dễ thấy $(*)$ có nghiệm $a = 0 \in (- 1; 1)$ . Để $(*)$ có đúng 3 nghiệm tức là còn có 2 nghiệm nữa là $\pm a_{0}$ với $0 < a_{0} < 1$ .

Muốn vậy, thì $g (1) = \frac{2}{n} {.1}^{m} = \frac{2}{n} > f (1) = \ln (1 + \sqrt{2}) \Leftrightarrow n < \frac{2}{\ln (1 + \sqrt{2})} \approx 2, 26 \Rightarrow n = 1; n = 2$

Cụ thể:

+ $m \in \{3; 5; 7; 9\}$ thì $n \in \{1; 2\}$ : Có 8 cặp $(m, n)$

+ $m = 11$ thì : $n \in \{1\}$ Có cặp $(m, n)$

+ $m = 1$ : Đồ thị hàm số $g (a)$ là đường thẳng ( $g (a) = a; g (a) = 2 a$ ) không thể cắt đồ thị hàm số $f (a)$ tại giao điểm $a_{0} \neq 0$ được vì tiếp tuyến của hàm số $f (a)$ tại điểm có hoành độ $a = 0$ là đường thẳng $y = a$ .

Vậy có cả thảy 9 cặp $y = a$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 16 b^{2}$

B. $a = 8 b$

C. $a = 16 b$

D. $a = 16 b^{4}$

Xem đáp án » 06/12/2022 48,985

Câu 2:

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $9^{\log_{3} (a b)} = 4 a$ . Giá trị của $a b^{2}$ bằng

A. 3

B. 6

C. 2

D. 4

Xem đáp án » 06/12/2022 40,393

Câu 3:

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{8} (a b)$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = b^{2}$

B. $a^{3} = b$

C. $a = b$

D. $a^{2} = b$

Xem đáp án » 06/12/2022 38,738

Câu 4:

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 27 b$

B. $a = 9 b$

C. $a = 27 b^{4}$

D. $a = 27 b^{2}$

Xem đáp án » 05/12/2022 36,468

Câu 5:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

A. $(10; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $[10; + \infty)$

D. $(- \infty; 10)$

Xem đáp án » 06/12/2022 32,069

Câu 6:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3$ là

A. $(- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$

B. $(- \infty; 3]$

C. $[- 3; 3]$

D. $(0; 3]$

Xem đáp án » 05/12/2022 28,027

Câu 7:

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln (5 a) - \ln (3 a)$ bằng

A. $\frac{\ln (5 a)}{\ln (3 a)}$

B. $\ln (2 a)$

C. $\ln \frac{5}{3}$

D. $\frac{\ln 5}{\ln 3}$

Xem đáp án » 06/12/2022 27,076

Xem thêm các câu hỏi khác »

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(m, n)$ sao cho $m + n \leq 12$ và ứng với mỗi cặp $(m, n)$ tồn tại đúng 3 số thực $a \in (- 1, 1)$ thỏa mãn $2 a^{m} = n \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1})$ ?

Nhà sách VIETJACK:

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $9^{\log_{3} (a b)} = 4 a$ . Giá trị của $a b^{2}$ bằng

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{8} (a b)$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3$ là

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln (5 a) - \ln (3 a)$ bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m,n) sao cho m+n≤12 và ứng với mỗi cặp (m,n) tồn tại đúng 3 số thực a∈(−1,1) thỏa mãn 2am=nln(a+a2+1) ?

Nhà sách VIETJACK:

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log2a−2log4b=4 , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 9log3(ab)=4a . Giá trị của ab2 bằng

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn log2a=log8ab . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log3a−2log9b=3 , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình logx≥1 là

Tập nghiệm của bất phương trình log336−x2≥3 là

Với a là số thực dương tùy ý, ln5a−ln3a bằng

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(m, n)$ sao cho $m + n \leq 12$ và ứng với mỗi cặp $(m, n)$ tồn tại đúng 3 số thực $a \in (- 1, 1)$ thỏa mãn $2 a^{m} = n \ln (a + \sqrt{a^{2} + 1})$ ?

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $9^{\log_{3} (a b)} = 4 a$ . Giá trị của $a b^{2}$ bằng

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{8} (a b)$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3$ là

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln (5 a) - \ln (3 a)$ bằng