Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a>1, b>1 và ax=by=ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+2y thuộc tập hợp nào dưới đây? A. 1; 2 B. 2; 52 C. 3; 4 D. 52; 3

Chọn D Ta có a, b>1 và x, y>0 nên ax;by;ab>1 Do đó: ax=by=ab⇔logaax=logaby=logaab⇔x=12+12logab2y=1+logba . Khi đó, ta có: P=32+12logab+logba . Lại do a, b>1 nên logab, logba>0 . Suy ra P≥32+212logab.logba=32+2 , P=32+2⇔logab=2 . Lưu ý rằng, luôn tồn tại a, b>1 thỏa mãn logab=2 . Vậy minP=32+2∈52; 3 .

Câu hỏi:

06/12/2022 5,781

Xét các số thực dương $a, b, x, y$ thỏa mãn $a > 1, b > 1$ và $a^{x} = b^{y} = \sqrt{a b}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + 2 y$ thuộc tập hợp nào dưới đây?

A. $(1; 2)$

B. $[2; \frac{5}{2})$

C. $[3; 4)$

D. $[\frac{5}{2}; 3)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 46 câu Trắc nghiệm Toán 12 Mũ và lôgarit có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Ta có $a, b > 1$ và $x, y > 0$ nên $a^{x}; b^{y}; \sqrt{a b} > 1$

Do đó: $a^{x} = b^{y} = \sqrt{a b}$ $\Leftrightarrow \log_{a} a^{x} = \log_{a} b^{y} = \log_{a} \sqrt{a b} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} b \\ 2 y = 1 + \log_{b} a \end{cases}$ .

Khi đó, ta có: $P = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} b + \log_{b} a$ .

Lại do $a, b > 1$ nên $\log_{a} b, \log_{b} a > 0$ .

Suy ra $P \geq \frac{3}{2} + 2 \sqrt{\frac{1}{2} \log_{a} b . \log_{b} a} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$ , $P = \frac{3}{2} + \sqrt{2} \Leftrightarrow \log_{a} b = \sqrt{2}$ .

Lưu ý rằng, luôn tồn tại $a, b > 1$ thỏa mãn $\log_{a} b = \sqrt{2}$ .

Vậy $\min P = \frac{3}{2} + \sqrt{2} \in [\frac{5}{2}; 3)$ .

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

A. $(10; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $[10; + \infty)$

D. $(- \infty; 10)$

Lời giải

Chọn C

$\log x \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 10$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[10; + \infty)$ .

Câu 2

Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 16 b^{2}$

B. $a = 8 b$

C. $a = 16 b$

D. $a = 16 b^{4}$

Lời giải

Chọn C

Ta có $\log_{2} a - 2 \log_{4} b = 4$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log_{2} a - 2 \log_{2^{2}} b = 4 \Leftrightarrow \log_{2} a - 2. \frac{1}{2} \log_{2} b = 4 \Leftrightarrow \log_{2} a - \log_{2} b = 4 \\ \Leftrightarrow \log_{2} \frac{a}{b} = 4 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 2^{4} \Leftrightarrow a = 16 b \end{array}$

Câu 3

Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn $\log_{2} a = \log_{8} (a b)$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = b^{2}$

B. $a^{3} = b$

C. $a = b$

D. $a^{2} = b$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn $9^{\log_{3} (a b)} = 4 a$ . Giá trị của $a b^{2}$ bằng

A. 3

B. 6

C. 2

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = 27 b$

B. $a = 9 b$

C. $a = 27 b^{4}$

D. $a = 27 b^{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3$ là

A. $(- \infty; - 3] \cup [3; + \infty)$

B. $(- \infty; 3]$

C. $[- 3; 3]$

D. $(0; 3]$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln (5 a) - \ln (3 a)$ bằng

A. $\frac{\ln (5 a)}{\ln (3 a)}$

B. $\ln (2 a)$

C. $\ln \frac{5}{3}$

D. $\frac{\ln 5}{\ln 3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử