3 bài tập Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức (có lời giải)

Chứng minh:

a) $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})$(2−3​)(2+3​)
Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$(a−b)(a+b)=a2−b2:

Vậy $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1$(2−3​)(2+3​)=1.

b) $(\sqrt{2006} - \sqrt{2005})$(2006​−2005​) và $(\sqrt{2006} + \sqrt{2005})$(2006​+2005​)

Nhân hai số:

Áp dụng hằng đẳng thức:

Vì tích của hai số bằng 1 nên chúng là hai số nghịch đảo.

a) Ta có \(\sqrt {25 - 16}  = \sqrt 9  = 3;\,\,\,\sqrt {25}  - \sqrt {16 = 5 - 4 = 1} \)

Mà \(1 < 3\) do đó \(\sqrt {25}  - \sqrt {16}  < \sqrt {25 - 16} .\)

b) Với \(a > b > 0\) thì \(a - b > 0.\)

Ta có: \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} \)

\(\begin{array}{l}\sqrt a  < \sqrt {a - b}  + \sqrt b \\{\left( {\sqrt a } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)^2}\end{array}\)

\(a < a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)}  + b\)

\(2\sqrt {b\left( {a - b} \right)}  > 0\) (luôn đúng).

Vậy \(\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b} .\)

a) Đúng, vì \(0,\,{01^2} = 0,0001.\)

b) Sai, vì \(\sqrt { - 0,25} \) không có nghĩa.

c)  Đúng, vì \({\left( {\sqrt {39} } \right)^2} < {7^2}\) và \({\left( {\sqrt {39} } \right)^2} > {6^2}.\)

d) Đúng, vì nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số dương \(\frac{1}{{4 - \sqrt {13} }}\) thì không đổi chiều bất đẳng thức.