Bài tập Chứng minh tỉ lệ thức lớp 7 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Từ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) suy ra \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\). Từ đó ta có:

\(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}}\) (1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}} = \frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}\)

Do đó \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}\). Vậy chọn B.

Đáp án đúng là: A

Ta có b² = ac hay b . b = ac

Do đó \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c}\) (1)

Mặt khác c² = bd hay c . c = bd

Do đó \(\frac{b}{c} = \frac{c}{d}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}\)

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = {\left( {\frac{b}{c}} \right)^3} = {\left( {\frac{c}{d}} \right)^3} = {\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3}\)

\( = \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} = \frac{{{c^3}}}{{{d^3}}}\) (1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{{b^3}}}{{{c^3}}} = \frac{{{c^3}}}{{{d^3}}} = \frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \({\left( {\frac{{a + b - c}}{{b + c - d}}} \right)^3} = \frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{{b^3} + {c^3} - {d^3}}}\)

Vậy chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\frac{a}{{2020}} = \frac{b}{{2021}} = \frac{c}{{2022}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{a}{{2020}} = \frac{b}{{2021}} = \frac{c}{{2022}}\)

\( = \frac{{a - b}}{{2020 - 2021}} = \frac{{b - c}}{{2021 - 2022}} = \frac{{c - a}}{{2022 - 2020}}\)

\( = \frac{{a - b}}{{ - 1}} = \frac{{b - c}}{{ - 1}} = \frac{{c - a}}{2}\).

Từ đó suy ra: \(\frac{{2(a - b)}}{{ - 1}} = \frac{{2(b - c)}}{{ - 1}} = \frac{{2(c - a)}}{2} = c - a\).

Do đó \(\frac{{2(a - b)}}{{ - 1}}.\frac{{2(b - c)}}{{ - 1}} = (c - a).(c - a)\).

Vậy 4(a – b)(b – c) = (c – a)² .

Vậy chọn C.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{a}{a\text{'}}+\frac{b}{b\text{'}}=1$

$\frac{ab}{a\text{'}b}+\frac{a\text{'}b\text{'}}{a\text{'}b}=1$

$\frac{ab+a\text{'}b\text{'}}{a\text{'}b}=1$

ab + a’b’ = a’b (1)

Nhân cả 2 vế của (1) với c ta được: abc + a’b’c = a’bc (2)

Lại có:

$\frac{b}{b\text{'}}+\frac{c\text{'}}{c}=1$

$\frac{bc}{b\text{'}c}+\frac{b\text{'}c\text{'}}{b\text{'}c}=1$

$\frac{bc+b\text{'}c\text{'}}{b\text{'}c}=1$

bc + b’c’ = b’c (3)

Nhân cả 2 vế của (3) với a’ ta được: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4)

Cộng cả 2 vế của (2) và (4) ta được: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc + a’b’c’

Suy ra: abc + a’b’c’ = 0.

Chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}}\)

\(\frac{{cx - az}}{b} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}}\)

\(\frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}\)

Mà \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\)

Nên \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - baz}}{{{b^2}}} = \frac{{cay - cbx}}{{{c^2}}}\)

\( = \frac{{abz - acy + bcx - baz + cay - cbx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\)

\( = \frac{{abz - baz + bcx - cbx + cay - acy}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\)

\( = \frac{0}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}bz - cy = 0 \Rightarrow bz = cy \Rightarrow \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\\ay - bx = 0 \Rightarrow ay = bx \Rightarrow \frac{y}{b} = \frac{x}{a}\end{array} \right.\)

Vậy \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\).

Chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Vì a, b, c ≠ 0 nên chia các vế của (1) cho abc ta được:

\(\frac{{a(y + z)}}{{abc}} = \frac{{b(z + x)}}{{abc}} = \frac{{c(x + y)}}{{abc}}\)

\(\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{x + y}}{{ab}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{x + y}}{{ab}}\)

\( = \frac{{(x + y) - (z + x)}}{{ab - ac}}\)

\( = \frac{{(y + z) - (x + y)}}{{bc - ab}}\)

\( = \frac{{(z + x) - (y + z)}}{{ac - bc}}\)

Vậy: \(\frac{{y - z}}{{a(b - c)}} = \frac{{z - x}}{{b(c - a)}} = \frac{{x - y}}{{c(a - b)}}\).

Chọn đáp án C.