Đề thi tuyển sinh vào lớp 6 môn Toán năm học 2025-2026 THCS ARCHIMEDES (Hà Nội) có đáp án

\(A = \frac{3}{{1 \times 2}} - \frac{5}{{2 \times 3}} + \frac{7}{{3 \times 4}} - \frac{9}{{4 \times 5}} + \frac{{11}}{{5 \times 6}} - \frac{{13}}{{6 \times 7}} + \frac{{15}}{{7 \times 8}} - \frac{{17}}{{8 \times 9}} + \frac{{19}}{{9 \times 10}}\)

\(A = \frac{{1 + 2}}{{1 \times 2}} - \frac{{2 + 3}}{{2 \times 3}} + \frac{{3 + 4}}{{3 \times 4}} - \frac{{4 + 5}}{{4 \times 5}} + \frac{{5 + 6}}{{5 \times 6}} - \frac{{6 + 7}}{{6 \times 7}} + \frac{{7 + 8}}{{7 \times 8}} - \frac{{8 + 9}}{{8 \times 9}} + \frac{{9 + 10}}{{9 \times 10}}\)

\(A = \left( {1 + \frac{1}{2}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6}} \right) - \left( {\frac{1}{6} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) - \left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{9}} \right) + \left( {\frac{1}{9} + \frac{1}{{10}}} \right)\)

\(A = 1 + \frac{1}{{10}}\)

\(A = \frac{{11}}{{10}}\)

Ta có: 7 = 7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4

                    = 1 + 2 + 4.

Trường hợp 1: 7 số 7 ta có 1 số là 7777777

Trường hợp 2: 1 số 1 và 6 số 6 ta có 7 số: 1666666; 6166666; 6616666;…; 6666661.

Trường hợp 3: Có 2 số 2; 5 số 5.

Xếp số 2 đầu tiên vào 7 vị trí có 7 cách xếp nên khi xếp số 2 còn lại có 6 cách xếp. Vì khi đổi thứ tự 2 số 2 thì không tạo ra số mới nên mỗi cách xếp lặp lại 2 lần, ví dụ 2₁2₂55555 Và 2₂2₁ 55555. Ta lập được số số là: (7 × 6) : 2 = 21 (số)

Trường hợp 4: Có 3 số 3; 4 số 4.

Xếp số 3 đầu tiên có 7 cách xếp, số 3 tiếp theo có 6 cách xếp và số 3 còn lại có 5 cách xếp. Vì khi đổi thứ tự 3 số 3 thì không tạo ra số mới nên mỗi cách sắp xếp sẽ lặp lại 6 lần, ví dụ 3₁3₂3₃4444; 3₁3₃3₂4444;....

Ta lập được số số là: (7 × 6 × 5) : 6 = 35 (số)

Trường hợp 5: Có 1 số 1; 2 số 2; 4 số 4

Xếp số 1 đầu tiên có 7 vị trí nên có 7 cách xếp.

Sau khi xếp số 1 còn lại 6 vị trí thì tương tự 2 số 2 tiếp theo có số cách xếp vào 6 vị trí là: 6 × 5 : 2 = 15 (cách xếp)

Ta lập được số số là: 7 × 15 = 105 (số)

Ta có: 1 + 7 + 21 + 35 + 105 = 169 (số)

Đáp số: 169 mã số.

T =1 × 3 × 5 × ... × 2025 = \(\overline {...5} \) (Vì số lẻ nhân với số co tận cùng là 5 thì tích có chữ số tận cùng là 5)

H = 2 × 2 × 2 × 2 ... × 2 (Có 2025 thừa số 2)

Ta có 2 × 2 × 2 × 2 = 16, nhóm 4 thừa số 2 thì ta có số nhóm là 2025 : 4 = 506 (dư 1).

H = (2 × 2 × 2 × 2) × … × (2 × 2 × 2 × 2)

H = 16 × ... × 16 × 2

H = \(\overline {...6} \) × 2

H = \(\overline {...2} \)

T + H = \(\overline {...5} + \overline {...2} = \overline {...7} \)

Vậy chữ số tận cùng của T + H là chữ số 7.

\[8 \times \overline {ARCARC} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overline {FUNFUN} \]

\[8 \times \overline {ARC} \times {\rm{ }}1001 = {\rm{ }}\overline {FUN} \times 1001\]

\[8 \times \overline {ARC} {\rm{ = }}\overline {FUN} \]

Vì \[\overline {FUN} < {\rm{ }}1000\] nên hay $8\times \overline{ARC}<125x8$

Suy ra $\overline{ARC}<125$

Vậy $\overline{ARC}$lớn nhất có thể bằng 124.

Nếu $\overline{ARC}$ = 124 suy ra 124 × 8 = 992 (Loại vì không thỏa mãn các chữ số A, R, C,… khác nhau)\[8 \times \overline {ARC} < {\rm{ }}1000\]

Nếu \[\overline {ARC} \] = 123 suy ra 123 × 8 = 984 (Thỏa mãn)

Suy ra A + R + C + F + U + N = 1 + 2 + 3 + 9 + 8 + 4 = 27.

Vậy tổng A + R + C + F + U + N lớn nhất là 27.