2 bài tập Đường tròn liên quan đến ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy (có lời giải)

a) Xét tứ giác \(AEHF\), ta có:  \(\widehat {AFH} = 90^\circ \)(Vì CF là đường cao của tam giác ABC)

                                            \(\widehat {AEH} = 90^\circ \)( Vì BE là đường cao của tam giác ABC)

Do đó \[\widehat {AFH} + \widehat {AEH} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \]

Vậy tứ giác \(AEHF\)là tứ giác nội tiếp .

b) Xét tứ giác \(AEHF\), ta có: \(\widehat {IEF} = \widehat {IAF}\)(cùng chắn )

                                         \(\widehat {IAF} = \widehat {IBC}\) (cùng chắn )

Do đó \(\widehat {IEF} = \widehat {IBC}\)

Tương tự, \(\widehat {FIE} = \widehat {FAE}\) (cùng chắn )

                 \(\widehat {FAE} = \widehat {BIC}\)(cùng chắn )

  Do đó \(\widehat {FIE} = \widehat {BIC}\)

Xét \(\Delta IBC\) và \(\Delta IFE\), ta có: \(\widehat {IEF} = \widehat {IBC}\)(cmt)

                                             \(\widehat {FIE} = \widehat {BIC}\)(cmt)

Do đó

c)

Tứ giác \(IAEF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {IFK} = \widehat {IAE}\)

Tứ giác \(IABC\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {IBK} = \widehat {IAE}\)

Suy ra \(\widehat {IFK} = \widehat {IBK}\)

Suy ra tứ giác \(IFBK\) nội tiếp (có hai đỉnh \(B,F\) kề cùng nhìn cạnh \(IK\) dưới một góc bằng nhau).

Vậy \(\widehat {KIF} + \widehat {KBF} = 180^\circ \), mà \(\widehat {KBF} = \widehat {FEC} = \widehat {FIA}\)

\( \Rightarrow \widehat {KIF} + \widehat {FIA} = 180^\circ \) hay ba điểm \[A,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\]thẳng hàng.

a) Ta có : \(\widehat {CDI} = {90^0}\) (gt)

                \(\widehat {CKI} = {90^0}\)  (gt)

\( \Rightarrow \widehat {CDI} = \widehat {CKI}\)

Vậy tứ giác CDKI nội tiếp.

b) Ta có: BD là phân giác của tam giác ABC (gt) \( \Rightarrow \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) (1)

Xét \(\Delta DCH\) và \(\Delta CBA\) có:

\(\widehat {CDH} = \widehat {BCA}\;\;\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat {DCH} = \widehat {CBA}\) (cùng phụ \(\widehat {BAC}\))

\( \Rightarrow \Delta DCH \sim \Delta CBA\) (g-g)

\( \Rightarrow \frac{{DH}}{{AC}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) (2)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow \frac{{DH}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow AC.AD = AB.DH\)

c)