Dạng 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án

Dạng 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

1833 lượt thi
14 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y = x^{2}$ tại $x = 1$ .

Xem đáp án

Ta có $\lim_{Δ x \to 0} \frac{{(1 + Δ x)}^{2} - {(1)}^{2}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 + Δ x) = 2.$

Vậy hệ số góc là $k = y^{'} (1) = 2$ .

Câu 2:

Cho hàm số $y = x^{3}$ . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y = 3 x - 2$

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3}$ và đường thẳng $y = 3 x - 2$ là

$x^{3} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ x = - 2 \end{cases}$ .

Tại $x = 1$ ta có $\lim_{Δ x \to 0} \frac{{(1 + Δ x)}^{3} - {(1)}^{3}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} ({(Δ x)}^{2} + 3 Δ x + 3) = 3.$

Hệ số góc $k_{1} = y^{'} (1) = 3.$

Tại $x = - 2$ ta có $\lim_{Δ x \to 0} \frac{{(- 2 + Δ x)}^{3} - {(- 2)}^{3}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} ({(Δ x)}^{2} - 6 Δ x + 12) = 12.$

Hệ số góc $k_{2} = y^{'} (- 2) = 12.$

Câu 3:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - x^{3}$ tại điểm có tung độ bằng 27.

Xem đáp án

Ta có: $y = 27 \Rightarrow x = - 3$ .

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- {(- 3 + Δ x)}^{3} + 27}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (- {(Δ x)}^{2} + 9 Δ x - 27) = - 27$

$\Rightarrow k = y^{'} (- 3) = - 27$

Phương trình tiếp tuyến $y - 27 = - 27 (x + 3) \Leftrightarrow y = - 27 x - 54.$

Câu 4:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x - 1}$ , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $- \frac{1}{9}$ .

Xem đáp án

Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ là tọa độ tiếp điểm. Ta có:

$f^{'} (x_{0}) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 1}{(x_{0} + Δ x - 1) (x_{0} - 1)} = \frac{- 1}{{(x_{0} - 1)}^{2}}$

$f^{'} (x_{0}) = k = - \frac{1}{9} \Leftrightarrow - \frac{1}{{(x_{0} - 1)}^{2}} = - \frac{1}{9} \Leftrightarrow {(x_{0} - 1)}^{2} = 9 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 4 \\ x_{0} = - 2 \end{array} .$

+ Với $x_{0} = 4$ ta có $y_{0} = \frac{4}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại $(4; \frac{4}{3})$ là

$y = - \frac{1}{9} (x - 4) + \frac{4}{3} \Leftrightarrow y = - \frac{1}{9} x + \frac{16}{9} .$

+ Với $x_{0} = - 2$ ta có $y_{0} = \frac{2}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại $(- 2; \frac{2}{3})$ là

$y = - \frac{1}{9} (x + 2) + \frac{2}{3} \Leftrightarrow y = - \frac{1}{9} x + \frac{4}{9} .$

Câu 5:

Chứng minh rằng để đường thẳng $(d) : y = a x + b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(G) : y = f (x)$ tại điểm $(x_{0}; f (x_{0}))$ thì điều kiện cần và đủ là $\{\begin{cases} a = f^{'} (x_{0}) \\ a x_{0} + b = f (x_{0}) \end{cases} .$

Xem đáp án

Đường thẳng $y = a x + b$ là tiếp tuyến của đồ thị $(G) : y = f (x)$ tại điểm $(x_{0}; f (x_{0}))$ khi và chỉ khi đồng thời xảy ra

· (d) và (G) cùng đi qua điểm $(x_{0}; f (x_{0}))$ tức là

· Hệ số góc (d) của f bằng đạo hàm của tại a=f(x) , tức là

Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm

32 câu hỏi 60 phút

Dạng 3. Ứng dụng đạo hàm trong vật lý

15 câu hỏi 60 phút

Các bài thi hot trong chương:

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm có đáp án

( 2.2 K lượt thi )

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Vi phân- đạo hàm cấp cao có đáp án

( 1.5 K lượt thi )

Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 15 phút có đáp án

( 3.4 K lượt thi )

Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 45 phút có đáp án

( 3.2 K lượt thi )

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Quy tắc đếm - Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án

( 2.5 K lượt thi )

Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng có đáp án

( 2.2 K lượt thi )

Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra cuối kì có đáp án

( 2.2 K lượt thi )

Đánh giá trung bình

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án