Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án

Dạng 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm

582 lượt thi
32 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = 2 x^{2} + 3$ tại $x_{0} = 2$ .

Xem đáp án

Giả sử là số gia của đối số tại .

Ta có: $Δ y = f (2 + Δ x) - f (2) = 2 {(2 + Δ x)}^{2} + 3 - ({2.2}^{2} + 3)$

$= 2 Δ x (Δ x + 4) .$

Tỉ số $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 Δ x (Δ x + 4)}{Δ x} = 2 Δ x + 8$ .

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 Δ x + 8) = 8.$

Vậy

f^{'} (2) = 8.

Câu 2:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ tại $x_{0} = 3$ .

Xem đáp án

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số tại $x_{0} = 3$ .

Ta có: $Δ y = f (3 + Δ x) - f (3) = \frac{2 (3 + Δ x) - 1}{3 + Δ x + 1} - \frac{5}{4} = \frac{5 + 2 Δ x}{4 + Δ x} - \frac{5}{4} = \frac{3 Δ x}{4 (4 + Δ x)};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{3 Δ x}{Δ x .4 (4 + Δ x)} = \frac{3}{4 (4 + Δ x)} .$

Do đó $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{3 Δ x}{Δ x .4 (4 + Δ x)} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{3}{4 (4 + Δ x)} = \frac{3}{16} .$

Vậy $f^{'} (3) = \frac{3}{16} .$

Câu 3:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{2 x - 1}$ tại $x_{0} = 1.$

Xem đáp án

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số tại $x_{0} = 1.$

Ta có: $Δ y = f (1 + Δ x) - f (1) = \sqrt{2 (1 + Δ x) - 1} - 1 = \frac{2 Δ x}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2 Δ x}{Δ x (\sqrt{2 Δ x + 1} + 1)} = \frac{2}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1};$

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{2}{\sqrt{2 Δ x + 1} + 1} = 1$ .

Vậy $f^{'} (1) = 1.$

Câu 4:

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Xem đáp án

Giả sử $Δ x$ là số gia của đối số $x_{0} = \frac{π}{3} .$

Ta có: $Δ y = f (\frac{π}{3} + Δ x) - f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{3} + Δ x) - \sin \frac{π}{3} = 2 \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \sin \frac{Δ x}{2};$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} .$

Do đó $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} .$

Vì $\lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} = 1$ nên $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \cos (\frac{π}{3} + \frac{Δ x}{2}) = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $f^{'} (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} .$

Câu 5:

Chứng minh rằng hàm số $f (x) = \{\begin{cases} {(x - 1)}^{2}, x \geq 0 \\ - x^{2}, x < 0 \end{cases}$ không có đạo hàm tại nhưng có đạo

hàm tại $x = 2$ .

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} {(x - 1)}^{2} = 1; \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (- x^{2}) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} f (x) \neq \lim_{x \to 0^{-}} f (x) .$

Suy ra hàm số gián đoạn tại nên không có đạo hàm tại đó.

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{{(1 + Δ x)}^{2} - 1^{2}}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (2 + Δ x) = 2.$

Vậy hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại $x = 2$ và $f^{'} (2) = 2.$

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan

Các bài thi hot trong chương

Đánh giá trung bình

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án